Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Ache u → tal que u → = 3 √ 3 e u → é ortogonal a v → = ( 2 ,   3 ,   - 1 ) e a w → = ( 2 ,   - 4 ,   6 ) . Dos “ u → ”s encontrados, qual o que forma ângulo agudo com o vetor ( 1 ,   0 ,   0 ) ?

Passo 1

Esse problema, na verdade, são dois problemas em um. Primeiro, devemos achar u → que tenha u → = 3 √ 3 e que forme 90 ° com os vetores v → = ( 2 ,   3 ,   - 1 ) e w → = ( 2 ,   - 4 ,   6 ) . Ao encontrarmos u →   que seja compatível com as características anteriores, o enunciado nos sugere que encontraremos mais de um vetor u → possível, e que desses devemos determinar qual deles forma um ângulo agudo com o vetor   ( 1 ,   0 ,   0 ) .

Dados: u → = 3 √ 3 u → ∙ v → = u → ∙ w → = 0

Passo 2

Passo 3

Com os dados acima, encontraremos o vetor u → que denotaremos por:

u → = ( x ,   y ,   z )

Temos que:

u → ∙ v → = 0 → x ,   y , z ∙ 2 ,   3 ,   - 1 = 2 x + 3 y - z = 0

u → ∙ w → = 0 → x ,   y ,   z ∙ 2 ,   - 4 ,   6 = 2 x - 4 y + 6 z = 0

Passo 4

A última informação que temos é que u → = 3 √ 3 que equivale a:

x 2 + y 2 + z 2 = 3 3 →   x 2 + y 2 + z 2 = 27

Encontramos assim, um sistema de equações:

2 x + 3 y - z = 0 2 x - 4 y + 6 z = x 2 + y 2 + z 2 = 27 0

Das duas primeiras equações se subtrairmos a segunda equação da primeira chegamos que:

y = z

Substituindo y = z na primeira equação novamente chega-se que:

2 x + 3 y - y = 0 → x = - y

Por fim, utilizando que x = - y = - z e a 3ª equação descobrimos que:

3 x 2 = 27 → x = ± 3

Assim, temos duas possibilidades para o vetor u → :

Se x = 3 → y = - 3 ,   z = - 3 , logo u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 )

Se x = - 3 → y = 3 ,   z = 3 , logo u → = ( - 3 ,   3 ,   3 )

Passo 5

A primeira parte está concluída. Agora, temos que achar qual dos dois vetores de u → que formam um ângulo agudo com o vetor ( 1 ,   0 ,   0 ) .

Mas, e agora o que eu faço para saber se é ou não agudo ??

Vamos raciocinar juntos!!

Do produto interno sabemos que a seguinte igualdade é válida:

u → ∙ ( 1,0 , 0 ) = u → ( 1,0 , 0 ) cos ⁡ θ

Certo?!

Então, vamos analisar o que temos e o que podemos tirar com essa expressão. Bom, os vetores u → e ( 1,0 , 0 ) nós temos. O módulo de u → nós já sabemos e do vetor ( 1 ,   0 ,   0 ) será 1 , só falta o ângulo. Ora, lá do Ensino Médio aprendemos que o cosseno de um ângulo agudo é maior ou igual a zero e que para um ângulo obtuso (maior que 90 ° ) é menor que zero, lembrou??

Então, faremos esse teste com cada um dos dois vetores u → que achamos e verificar qual deles o cosseno é positivo. Aqui, tem um detalhe que não precisamos calcular os módulos, pois como todo o módulo é um valor positivo, o mesmo não vai influenciar no resultado ;). Ufa!! Vai nos poupar algumas continhas haha.

Assim, para u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 ) , temos:

u → ∙ ( 1,0 , 0 ) = 3 ,   - 3 ,   - 3 ∙ 1 ,   0 ,   0 = 3.1 + - 3 . 0 + - 3 . 0 = 3

Para nossa sorte já achamos o resultados hehe

u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 )

Resposta

u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 )

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