Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Considere no espaço E 3 um cubo cujos vértices são A , B , C ,   D ,   E ,   F ,   G ,   H , em que A B C D ,   A D H E e A B F E são faces desse cubo, como ilustrado na figura abaixo:

Considere também os seguintes sistemas de coordenadas em E 3 :

σ 1 = A ,   A B → ,   A D → ,   A E →     e   σ 2 = H ,   H C → ,   H B → ,   H A → .

Se P ∈ E 3 for o ponto cujos coordenadas no sistema σ 1 são ( - 1,3 , 2 ) , então as coordenadas de P no sistema σ 2 serão:

a) - 2,0 , - 1 ;

b) 1 , - 2,0 ;

c) 1 , - 1,1 ;

d) 1,5 , 3 ;

e) - 1,3 , 2 .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certinho?

Nessa questão temos um tipo de sistema de coordenadas um pouco diferente. Nos é dado um cubo, e é falado que existem dois sistemas de coordenadas em E 3 . Vou mostrar pra vocês como funciona.

Para σ 1 , por exemplo, foi falado que:

σ 1 = A ,   A B → ,   A D → ,   A E →

Então, se a gente pegar um ponto Q qualquer que é dado por ( x , y , z ) no sistema de coordenadas σ 1 , significa que:

Q = A + x ⋅ A B → + y ⋅ A D → + z ⋅ A E →

Entenderam?

Daí, o enunciado fala que em σ 1 um ponto P é dado por ( - 1,3 , 2 ) e nos pergunta quais as coordenadas de P no sistema de coordenadas σ 2 . Sacou?

Para responder essa pergunta precisamos primeiro identificar as relações entre A B → ,   A D → ,   A E → e

H C → ,   H B → ,   H A → . Nesse processo é fundamental utilizar os paralelismos entre vetores do cubo.

Depois, podemos utilizar que P = ( - 1,3 , 2 ) em σ 1 para chegar na sua relação em σ 2 . Tranquilo?

Vamo nessa!

Passo 2

Então, pra começar precisamos identificar as relações entre A B → ,   A D → ,   A E → e H C → ,   H B → ,   H A → .

Analisando o nosso cubo, vemos que:

H A + A B = H B

∴ A B = H B - H A

É isso que queremos fazer! Encontrar uma relação pra cada vetor de σ 1 ,   A B → ,   A D → ,   A E → , em função dos vetores H C → ,   H B → ,   H A → .

Agora vamos para A D .

É um pouco difícil perceber logo de cara uma relação para A D , mas observando que A D / / B C , e que além de serem paralelos possuem o mesmo comprimento (ou seja, A D ~ B C ), podemos escrever que:

H B + B C = H C

B C = H C - H B

∴ A D = H C - H B

Perfeito!

Por fim, precisamos encontrar uma relação pra A E .

Aqui fica um pouquinho mais difícil, então vamos com calma. Usando o mesmo raciocínio de antes, podemos escrever que:

H E - H A = A E

Mas, quem é H E ?

Olhando direitinho, vemos que H E é paralelo a A D , porém aponta no sentido contrário. Assim:

H E =   - A D

Substituindo o valor de A D que encontramos anteriormente na nossa expressão para A E , vem que:

H E - H A = - H C - H B - H A

Ou seja:

A E = H B - H C - H A

Excelente! Revisando o que encontramos aqui, temos:

A B = H B - H A A D = H C - H B A E = H B - H C - H A

Muito bom!

Passo 3

Agora vamos usar a informação de que, na base σ 1 , P = ( - 1 ,   3 ,   2 ) .

P = A + - 1 A B + 3 ⋅ A D + 2 ⋅ A E

P - A = - 1 A B + 3 ⋅ A D + 2 ⋅ A E

Mas, P - A = A P . Logo:

A P = - 1 A B + 3 ⋅ A D + 2 ⋅ A E

Usando a relação que encontramos no passo anterior:

A B = H B - H A A D = H C - H B A E = H B - H C - H A

Temos:

A P =   - H B - H A + 3 H C - H B + 2 H B - H C - H A

=   - H A - 2 H B + H C

Massa! Estamos quase lá. Para escrever P na base σ 2 precisamos chegar em uma expressão do tipo:

P = H + a ⋅ H C + b ⋅ H B + c ⋅ H A

E, até agora já temos:

A P = - H A - 2 H B + H C

Uma sacada bem legal é reescrever A P como:

A P = A H + H P

Só que H A é paralelo a A H mas em sentido oposto. Ou seja:

A H =   - H A

Assim:

A P = H P - H A

Substituindo de volta na expressão para A P , temos:

H P - H A =   - H A - 2 H B + H C

∴ H P = 1 ⋅ H C - 2 ⋅ H B + 0 ⋅ H A

Lembrando que:

H P = P - H

Temos:

P - H = 1 ⋅ H C - 2 ⋅ H B + 0 ⋅ H A

⇒ P = H + 1 ⋅ H C - 2 ⋅ H B + 0 ⋅ H A

Olha aí que bonito! É exatamente onde queríamos chegar. Daí, podemos afirmar que P em σ 2 vale:

P = ( 1 , - 2,0 )

(é só pegar os coeficientes que multiplicam H C ,   H B e H A .

Prontinho gente! É isso.

Espero que vocês tenham gostado, até a próxima 😉

Resposta

Letra b)

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