Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Mostrar que se u → e v → são vetores, tal que u → + v → é ortogonal a u → - v → , então u → = | v → | .

Passo 1

Não ache que as demostrações caem do céu haha...é que, geralmente, o que acontece é que pensamos num ponto de partida e esse pode ou não chegar onde queremos, e por isso, as questões de demonstração são um pouco de tentativa e erro . E claro, se você já viu uma demonstração parecida, uma vez na vida, vai te fazer recordar.

Temos que demonstrar que sabendo que os vetores u → + v → e u → - v → são ortogonais, então u → = | v → | .

Passo 2

Em todos os exercícios anteriores que falavam de vetores ortogonais chamamos bastante atenção para o fato que o produto interno entre vetores ortogonais é igual a ZERO.

Assim, podemos começar a nossa demostração já que:

u → + v → ∙ u → - v → = 0

Passo 3

Já temos onde começar a brincar com os vetores,agora vamos brincar com as propriedades distributivas que o produto interno tem.

u → + v → ∙ u → - v → = u → ∙ u → - v → + v → ∙ u → - v → = 0

Ainda dá para abrir mais essa expressão.

u → ∙ u → - v → + v → ∙ u → - v → = u → ∙ u → - u → ∙ v → + v → ∙ u → - v → ∙ v → = 0

Pela propriedade comutativa, sabemos que u → ∙ v → = v → ∙ u → , então sobra:

Sabemos pela teoria que o produto interno do vetor por ele mesmo equivale ao seu módulo ao quadrado → u → ∙ u → = u → 2   e v → ∙ v → = v → 2 .

Assim,

u → ∙ u → - v → ∙ v → = u → 2 - v → 2 = 0

u → = | v → |

C.Q.D

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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