Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Sejam u , v ∈ V 3 tais que u = 2 , v = 1 e o ângulo entre u e v mede 45 ° . Se θ é a medida do ângulo entre u + v e - u + v , então c o s ⁡ ( θ ) é igual

Passo 1

Oiii gente, tudo certo??

Olha só, temos dois vetores ( u e v ), onde conhecemos os módulos deles:

u = 2

v = 1

E além disso, o ângulo entre esses 2 vetores vale 45 °

Agora queremos encontrar quem é o cosseno do ângulo entre u + v e - u + v

Para isso, vamos usar essa relação de produto escalar:

cos ⁡ θ = ⟨ u + v , - u + v ⟩ u + v . - u + v

Então vamos lá??

Passo 2

Aqui vamos usar essa fórmula:

cos ⁡ θ = ⟨ u + v , - u + v ⟩ u + v . - u + v

Mas antes vamos encontrar as informações que precisamos substituir, começando por ⟨ u + v , - u + v ⟩ , pode ser?

Por propriedade de produto escalar, podemos escrever:

u + v , - u + v = - u , u + u , v - ⟨ v , u ⟩ + v , v

Como o produto escalar é comutativo, temos que u , v = v , u . Logo, esses termos vão se cancelar:

u + v , - u + v = - u , u + v , v

Como sabemos os módulos de u e v , podemos calcular esse produto escalar assim:

u + v , - u + v = - 2 2 + 1 2 = - 1

Ebaaa, então já temos o nosso numerador :P

Passo 3

Agora vamos encontrar u + v

Temos que

u + v 2 = u 2 + 2 ∙ u ∙ v + v ²

Podemos escrever u ∙ v = u ∙ v ∙ cos ⁡ 45 ° , então:

u + v 2 = u 2 + 2 ∙ u ∙ v ∙ cos ⁡ 45 ° + v ²

Substituindo u = 2 , v = 1 :

u + v 2 = 2 2 + 2 ∙ 2 ∙ ( 1 ) ∙ cos ⁡ 45 ° + 1 ²

u + v 2 = 2 + 2 2 ∙ 2 2 + 1

Então:

u + v 2 = 2 + 2 + 1 = 5

Logo:

u + v = 5

Passo 4

Por fim, vamos encontrar - u + v

Temos

v - u 2 = v ² - 2 ∙ v ∙ u + u 2

Fazendo v ∙ u = u ∙ v ∙ cos ⁡ 45 ° , temos

v - u 2 = v 2 - 2 ∙ u ∙ v ∙ cos ⁡ 45 ° + u 2

v - u 2 = 1 2 - 2 2 ∙ 2 2 + 2 2

v - u 2 = 1 - 2 + 2 = 1

Portanto

v - u = 1

Passo 5

Showw, agora já temos todas as informações para substituir:

cos ⁡ θ = - 1 5 ∙ 1 = - 1 5

Arrasamos!!

Resposta

cos ⁡ θ = - 1 5

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