Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Sabendo que u ,   v e w são vetores de V 3 tais que u = 2 ,   v = 3 ,   w = 4 , o ângulo entre u e w mede 60 ° e v é ortogonal tanto a u quanto a w , é correto afirmar que u + v - w é igual a

a) 21

b) 17

c) 4

d) 2 5

e) 3 2

f) 23

Passo 1

Vamos lá comigo fechar as questões dessa prova???

BORAAAA!

Temos 3 vetores, u ,   v e w , tais que os módulos deles são

u = 2 ,   v = 3 ,   w = 4

Além disso, temos que o ângulo entre u e w mede 60 °

O vetor v é ortogonal a u e a w , então os produtos escalares v . u e v . w valem 0

E então queremos encontrar quanto vale u + v - w

Gente, nesse tipo de exercício que ele dá muita informação sobre um vetor e pede o módulo de alguma soma entre eles, quase sempre vamos usar a relação de produtos notáveis:

u + v - w 2 = u + v 2 - 2 . u + v . w + w 2

Então vamoooos aplicar isso

Passo 2

Temos que

u + v - w 2 = u + v 2 - 2 . u + v . w + w 2

Mas ainda podemos desenvolver esse u + v 2 :

u + v - w 2 = u 2 + 2 . u . v + v 2 - 2 . u + v . w + w 2

E usando as propriedades de produto escalar em u + v . w :

u + v - w 2 = u 2 + 2 . u . v + v 2 - 2 . u . w + v . w + w 2

Como v é ortogonal a u e a w , temos que v . u = v . w = 0

u + v - w 2 = u 2 + v 2 - 2 . u . w + w 2

Passo 3

Agora vamos substituir os valores, lembrando que u . w = u . w . cos ⁡ θ

u + v - w 2 = u 2 + v 2 - 2 . u . w + w 2

u + v - w 2 = 2 2 + 3 2 - 2 . u . w . cos ⁡ θ + 4 2

u + v - w 2 = 4 + 9 - 2 . 2.4 . cos ⁡ 60 ° + 16

u + v - w 2 = 29 - 2 . 2.4 . 1 2

u + v - w 2 = 29 - 8 = 21

Então:

u + v - w = 21

A alternativa correta é a letra A 😊

Resposta

a) 21

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