Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Considere os vetores v 1 = 1 , - 1,0 ,   v 2 = 1,2 , 1   e   v 3 = ( - 2,1 , 1 ) do espaço vetorial R 3 , munido do produto interno usual. Se u ∈ R 3 é tal que u , v 1 = 2 ,   u , v 2 = 0   e   u , v 3 = - 2 , então u é igual a

a   3

b   2 2

c   5

d   2 3

e   2

Passo 1

Falaaa, blz?? A ideia de fazer essa questão é:

No R 3 temos que um vetor qualquer possui 3 coordenadas. Além disso, temos 3 equações que podemos tirar dos produtos internos que o enunciado nos da. Ou seja, vamos no colocar o que temos e ficará com 3 incógnitas e 3 equações.

Vamos lembrar o produto interno usual:

Seja x 1 , y 1 , z 1 = w 1   e   x 2 , y 2 , z 2 = w 2

w 1 , w 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

Passo 2

S e j a   u ∈ R 3 ,     c o m   u = ( a , b , c )

u , v 1 = a 1 + b - 1 + c 0 = 2

u , v 2 = a 1 + b 2 + c 1 = 0

  u , v 3 = a - 2 + b 1 + c 1 = - 2

a - b = 2                               a + 2 b + c = 0             - 2 a + b + c = - 2

Somando a primeira com a última:

a - b - 2 a + b + c = 0   → - a + c = 0   ∴ c = a

c - b = 2                               c + 2 b + c = 0             - 2 c + b + c = - 2

Da segunda, temos que c + b = 0   e   d a   p r i m e i r a   c - b = 2 ,   l o g o   b = - 1   e   c = 1 = a

Passo 3

Logo u = a , b , c = ( 1 , - 1,1 )

Ou seja u = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Resposta

Letra A

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Determine a + b , 2 a + 3 b , |a| e |a - b| . 18. a = 4 i + j , b = i - 2 j