Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Considere a função ∙ , ∙ definida por:

p , q = p ' 0 q ' 0 + p ' 1 q ' 1 + p ' 2 q ' 2 + p ' 3 q ' 3 ,     p , q ∈ P 3 R .

Assinale a alternativa correta:

a )   ∙ , ∙ não é um produto interno em P 3 ( R ) , pois existem p , q   ∈ P 3 ( R ) e λ   ∈ R tais que λ p , q ≠ λ p , q ;

b )   ∙ , ∙ não é um produto interno em P 3 ( R ) , pois existem p ∈ P 3 ( R ) não nulo tal que p , p = 0 ;

c )   ∙ , ∙ é um produto interno em P 3 R ;

d )   ∙ , ∙ não é um produto interno em P 3 ( R ) , pois existem p , q   ∈ P 3 ( R ) tais que p , q ≠ q , p

e )   ∙ , ∙ não é um produto interno em P 3 ( R ) , pois existem p , q   ∈ P 3 ( R ) tais que p + q , r ≠ p , r + q , r

Passo 1

Falaaaa, blz?? Bora para mais um probleminha dessa prova, agora envolvendo produto interno. Nessa questão vamos analisar cada alternativa. Começando pela letra (a):

∙ , ∙ não é um produto interno em P 3 ( R ) , pois existem p , q   ∈ P 3 ( R ) e λ   ∈ R tais que λ p , q ≠ λ p , q ;

Para checar essa alternativa bora desenvolver λ p , q e ver o que aparece.

λ p , q = ( λ p ) ' 0 q ' 0 + ( λ p ) ' 1 q ' 1 + ( λ p ) ' 2 q ' 2 + ( λ p ) ' 3 q ' 3

Porém, por propriedade de derivada, podemos jogar a constante para fora, ou seja:

p , q = λ p ' 0 q ' 0 + λ p ' 1 q ' 1 + λ p ' 2 q ' 2 + λ p ' 3 q ' 3

Colocando λ   em evidencia:

p , q = λ ( p ' 0 q ' 0 + p ' 1 q ' 1 + p ' 2 q ' 2 + p ' 3 q ' 3 )

Mas veja que isso é λ p , q , ou seja, a alternativa está errada, pois ela nos diz que é diferente de λ p , q

Passo 2

Agora bora para a letra B desse probleminha.

b )   ∙ , ∙ não é um produto interno em P 3 ( R ) , pois existem p ∈ P 3 ( R ) não nulo tal que p , p = 0 ;

Essa afirmação vale a gente pensar. Nesse caso, para termos p , p = 0 precisamos que as primeiras derivadas em 1,2 e 3 seja igual a zero. Agora vale a gente pensar, existe algum polinômio p ∈ P 3 ( R ) tal que tenha derivadas nulas, mas ele sendo diferente de zero.

Veja que se tomarmos p x = k , sendo k uma constante qualquer, nós temos que:

p ' x = 0 ,     ∀   x ∈ R

Ou seja:

p , p = p ' 0 p ' 0 + p ' 1 p ' 1 + p ' 2 p ' 2 + p ' 3 p ' 3    

E por isso

p , p = 0

Mas como foi dito, p x = k   que é diferente do polinômio nulo, por isso a afirmação está correta. Uma vez que para ∙ , ∙ ser produto interno, teríamos que p , p = 0 ↔ p = 0 , como isso não ocorre ∙ , ∙ não é produto interno

E assim terminamos mais um probleminha, nessa questãozinha precisava checarmos cada alternativa, mas graças a boa vontade do professor foi até rápido kkkkk, bora para próxima

Resposta

Letra B

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