Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Seja B uma base ortonormal de V 3 . Considere os vetores u = 1,1 , 1 B e w = a , b , c , em que a , b , c são números reais. Sabendo que w = 2 e que o ângulo entre u e w mede 150 ° , é correto afirmar que a + b + c é igual a

a) 3

b) 2

c) - 3

d) - 1

e) 1

f) - 2

Passo 1

Vamos lá!!

Temos esses 2 vetores:

u = 1,1 , 1

w = a , b , c

Onde o módulo do vetor w é w = 2 e o ângulo entre esses vetores mede 150 °

E aí queremos encontrar o valor de a + b + c . Cara... esse exercício foi muito legal com a gente, porque olha o que acontece se fizermos o produto escalar de u e v :

1,1 , 1 . a , b , c = a + b + c

Dá exatamente aquilo que queremos hahahaha e aí é só lembrarmos que o produto escalar também pode ser escrito assim:

u . v = u . v . cos ⁡ 150 °

Então bora!!

Passo 2

Temos que

u . v = u . v . cos ⁡ 150 °

Sabendo que w = 2 e u = 1 2 + 1 2 + 1 2 , temos

1,1 , 1 . a , b , c = 1 2 + 1 2 + 1 2 ∙ 2 ∙ cos ⁡ 150 °

O ângulo de 150 ° é tipo 30 ° só que no segundo quadrante, onde o cosseno é negativo. Então vai ser o mesmo valor de cosseno, só que com sinal de menos:

a + b + c = 3 ∙ 2 ∙ - 3 2

Então:

a + b + c = - 3

Sucesso! A alternativa correta é a letra C 😊

Resposta

c) -3

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