Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(c) Se u   e   v são vetores de R n , então u + v 2 + u - v 2 = 2   (   u 2 +   v 2   ) .

Passo 1

Vamos desenvolver essa continha aí pra ver se isso tá certo:

u + v 2 + u - v 2

Vou analisar o lado esquerdo e aí comparar com o outro lado, mas, para isso temos que usar isso:  

u + v = ( u + v ) ⋅ ( u + v )

Assim, u + v 2 = ( u + v ) ⋅ ( u + v ) e, consequentemente, u - v 2 = ( u - v ) ⋅ ( u - v )

u + v 2 + u - v 2 = u + v ⋅ u + v + ( u - v ) ⋅ ( u - v )

Pela linearidade do produto interno:

u + v 2 + u - v 2 = u ⋅ u + u ⋅ v + v ⋅ u + v ⋅ v + u ⋅ u - u ⋅ v - v ⋅ u + v ⋅ v

u + v 2 + u - v 2 = 2   u ⋅ u + 2   v ⋅ v + 2 v ⋅ u - 2 u ⋅ v = 2   u ⋅ u + 2   v ⋅ v

Podemos fazer o caminho contrário do que fizemos ali em cima e escrever:

2   u ⋅ u + 2   v ⋅ v = 2 u 2 + 2 v 2

Opaa, entãooo...

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2

A afirmativa é verdadeira

Resposta

Verdadeiro

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