Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Sejam os pontos A 1,2 , - 1 ,   B - 1,0 , - 1 e C 2,1 , 2 . Pede-se:

  1. Mostrar que o triangulo A B C é retângulo em A .
  2. Calcular a medida da projeção do cateto B A sobre a hipotenusa B C .
  3. Determinar o pé da altura do triangulo relativa ao vértice A .

Passo 1

a Temos que mostrar que o triângulo A B C é retângulo em A . Que pela figura a seguir, significa dizer que os vetores A B → e A C → formam 90 ° entre si.

Se eles são ortogonais entre si, sabemos que A B → ∙ A C → = 0 . Assim, basta provar que o produto interno entre eles é ZERO.

Como nos foi dado os pontos A ,   B e C . Vamos achar os vetores A B → e A C → .

A B → = B - A = - 1,0 , - 1 - 1,2 , - 1 → A B → = ( - 2 , - 2,0 )  

A C → = C - A = 2 ,   1,2 - 1 ,   2 , - 1 → A C → = ( 1 , - 1,3 )

Então,

A B → ∙ A C → = - 2 , - 2,0 ∙ 1 , - 1,3 = - 2 . 1 + - 2 . - 1 + 0.3 = 0

Portanto,

A B → ∙ A C → = 0

Passo 2

b OMG!!! Projeção?? Nunca entendi essa parada!

Agora é a hora então!! Vamos passo a passo para você ficar fera em projeção ;).

Vimos na teoria, que projeção é a “sombra” que um vetor faz no outro. A figura a seguir ilustra melhor!

Então, o que o enunciado nos pede é o tamanho do vetor em laranja que o mesmo é a projeção do vetor B A → sobre o vetor B C → . Aqui vale enfatizar que o enunciado pediu o cateto A B , o cateto não indica um vetor e sim um lado, assim eu escolhi a direção do vetor B A → . Como vimos na teoria, para achar o vetor projeção temos uma formulinha ;), que é:

Para o nosso caso, essa fórmula fica da seguinte forma:

p r o j . B C → B A → = B A → ∙ B C → B C → ∙ B C → B C →

Vamos calcular os vetores que precisamos:

B A → = A - B = 1,2 , - 1 - - 1,0 , - 1 = ( 2,2 , 0 )

B C → = C - B = 2,1 , 2 - - 1,0 , - 1 = ( 3,1 , 3 )

Então,

p r o j . B C → B A → = 2,2 , 0 ∙ 3,1 , 3 3,1 , 3 ∙ 3,1 , 3 3,1 , 3 →   p r o j . B C → B A → = 2.3 + 2.1 + 0.3 3.3 + 1.1 + 3.3 3,1 , 3

p r o j . B C → B A → = 8 19 3,1 , 3

p r o j . B C → B A → = 24 19 , 8 19 , 24 19

Achamos o vetor projeção, mas CUIDADO, não é isso que é nos pedido, ele pede a medida da projeção, ou seja, o tamanho. Assim, vamos calcular o módulo da projeção.

| p r o j . B C → B A → | = 24 19 2 + 8 19 2 + 24 19 2 = 8 19 2 . 3 2 + 1 2 + 3 2

| p r o j . B C → B A → | = 8 19 9 + 1 + 9 = 8 19 19

| p r o j . B C → B A → | = 8 19 19

Passo 3

  1. Ufa!! Essa questão é longa hein!!!

Mais um pouquinho e já finalizamos haha

Agora, a questão nos pede para determinar o pé da altura relativa ao vértice A . Mas, gente, quem é esse pé?

Hahahaha.... pé não é nesse sentido não heheh...na geometria, refere-se a “pé” ao ponto da extremidade oposta a referência. Por exemplo, nossa referência é o vértice A , pois o enunciado pede em relação a ele. Então, o nosso pé na nossa figura é o ponto H . Deu para sacar?

Bom, como vamos encontrar H ? Bem, às vezes, ajuda pensar que uma questão com tantos itens um item tem a ver com o outro, principalmente em prova, em geral, o item b depende do a e assim por diante (CUIDADO: não tome como regra, mas sempre vale prestar atenção que pode poupar tempo se isso for verdade).

Se olharmos para a figura, vamos perceber que a projeção que calculamos no item b nada mais é que o vetor B H → . Opaaaa, apareceu o H !!!

Então, pelo item b temos que:

p r o j . B C → B A → = 24 19 , 8 19 , 24 19 →   p r o j . B C → B A → = 24 19 , 8 19 , 24 19 = B H →

Temos o ponto   B , que nos foi dado, certo?? Então,

B H → = H - B = 24 19 , 8 19 , 24 19

Vamos supor que nosso H é H = x ,   y ,   z .

H - B = x ,   y ,   z - - 1 ,   0 ,   - 1 = 24 19 , 8 19 , 24 19

x + 1 ,   y ,   z + 1 = 24 19 , 8 19 , 24 19

Igualando os lados, temos:

x + 1 = 24 19 → x = 5 19

y = 8 19

z + 1 = 24 19 → z = 5 19

Finalmente,

H = 5 19 , 8 19 , 5 19  

Nossa, essa foi pesada hein, mas conseguimos!!!!

Resposta

b) | p r o j . B C → B A → | = 8 19 19

c) H = 5 19 , 8 19 , 5 19

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