Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Considere o tetraedro regular de aresta unitária A , B , C , D :

O valor de A B → ∙ C D →   é

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora começar essa questão analisando o que podemos fazer. Para calcular o produto interno entre 2 vetores precisamos dos seus módulos e do ângulo entre eles. O módulo dos vetores são dados no enunciado, falta apenas o ângulo. Como o tetraedro é regular, suas faces são triângulos equiláteros, ou seja, conseguimos analisar o ângulo de vetores que estão “conectados”.

Passo 2

Vamos usar, portanto, que A B → =   A C → + C B →

Ou seja, A B → ∙ C D → = A C → + C B → ∙ C D → = A C → ∙ C D → + C B → ∙ C D →  

Agora, basta lembrarmos como calcular o produto interno de dois vetores, vamos usar os de cima como exemplo:

A C → ∙ C D → =   A C →   C D →   c o s x = c o s x  

Passo 3

Além disso, o ângulo em questão é o ângulo formado pela “base” dos vetores, usando um desenho só para deixar um pouco mais claro:

Temos que deixar os vetores com suas bases juntas e analisar o ângulo:

A C → ∙ C D → = c o s x  

O ângulo A C D ^ = 60 º   , pois é um triângulo equilátero. Logo x = 120 º

c o s x =   - 1 2

Agora basta calcular C B → ∙ C D →

Agora é mais tranquilo achar o ângulo, pois ambos começam no ponto C, sendo que eles estão num mesmo plano formando o vértice de um triangulo equilátero, ou seja:

C B → ∙ C D → = cos ⁡ 60 º = 1 2

A B → ∙ C D → = A C → + C B → ∙ C D → = A C → ∙ C D → + C B → ∙ C D → =   - 1 2 + 1 2 = 0

Resposta

Letra D

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →
Ache um vetor que possui a mesma direção e o mesmo sentido que - 2,4 , 2, mas tem comprimento 6 .
Velocidades têm módulo, direção e sentido, sendo portanto vetores. O módulo de uma velocidade é chamado velocidade escalar. Suponha que esteja ventando na direção N 45 ° W a uma velocidade de 50 km/h.
Suponha que a e b sejam vetores não nulos, não paralelos e que c seja um vetor pertencente ao plano determinado por a e b . Dê um argumento geométrico para mostrar que c pode ser escrito como c = s a
Determine a + b , 2 a + 3 b , |a| e |a - b| . 18. a = 4 i + j , b = i - 2 j