Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Sabe-se que A = ( 0,2 , 1 ) é um vértice de um quadrado que possui diagonal contida na reta r: x + 1 = - y + 2 = 2 z . Então é correto afirmar que existe um outro vértice C = ( a , b , c ) do quadrado com a+b+c igual a:

Passo 1

Falaaaa, tranquilo??? Vamos começar essa questão reescrevendo essa reta r de uma forma mais fácil de enxergar.

x + 1 = - y + 2 = 2 z = t ;       t ∈ R

Daqui tiramos que:

x =   - 1 + t y = 2 - t z = 1 2 t ;         t ∈ R

Veja que a questão não quis ser legal conosco, pois o ponto A não pertence à reta r. Caso contrário seria bem mais fácil.

Passo 2

Vamos fazer um desenho para ficar mais claro o que está acontecendo:

Só quero deixar bem claro que sei desenhar bem no papel, mas digitando fica sempre um desastre, sem julgamentos, por favor.

Mas enfim, superando a arte acima, vamos ao que nos interessa.

Veja que C = A + 2 A Q → , logo, basta acharmos o valor de Q que resolvemos a questão

Passo 3

Como Q   ∈ r ,   l o g o   e x i s t e   u m   t   ∈ R   t a l   q u e :

Q = ( - 1 + t , 2 - t ,   1 2 t )

Então   A Q → = - 1 + t , 2 - t ,   1 2 t - 0,2 , 1 = - 1 + t ,   - t , t 2 - 1  

Além disso, A Q → ⊥ v → , onde v →   é paralelo a reta r.

Da equação parametrizada, tiramos que v → = ( 1 , - 1 , 1 2 )

Vamos agora fazer o produto escalar entre os 2 vetores perpendiculares citados:

  A Q → ∙   v → = 0 = - 1 + t + t + t 4 - 1 2 = 9 t 4 - 6 4 = 0

9 t - 6 = 0

Então t = 2 3 , logo:

  A Q → = - 1 + t ,   - t , t 2 - 1 = - 1 3 , - 2 3 , - 2 3

Como foi dito anteriormente C = A + 2 A Q → = 0,2 , 1 + 2 - 1 3 , - 2 3 , - 2 3 = - 2 3 , 2 3 , - 1 3

Como C = a , b , c = - 2 3 , 2 3 , - 1 3 ,     a + b + c = - 1 3

Resposta

a + b + c = - 1 3

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Ache um vetor que possui a mesma direção e o mesmo sentido que - 2,4 , 2, mas tem comprimento 6 .
Velocidades têm módulo, direção e sentido, sendo portanto vetores. O módulo de uma velocidade é chamado velocidade escalar. Suponha que esteja ventando na direção N 45 ° W a uma velocidade de 50 km/h.
Suponha que a e b sejam vetores não nulos, não paralelos e que c seja um vetor pertencente ao plano determinado por a e b . Dê um argumento geométrico para mostrar que c pode ser escrito como c = s a
Determine a + b , 2 a + 3 b , |a| e |a - b| . 18. a = 4 i + j , b = i - 2 j