Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Sejam u ,   v ,   w ∈ V 3 tais que u = 3 , v = 4 , w = 2 e tais que u e w são, ambos, ortogonais a v . Se o ângulo entre u e w mede 60 ° , então u + v + w é igual a

Passo 1

Faaala pessoal, tudo belezinha?

Nesse exercício, temos 3 vetores u , v , w , e também temos umas informações sobre eles:

- Os seus módulos: u = 3 , v = 4 , w = 2

- v é ortogonal a u e w (então o produto escalar com eles vai valer 0 )

- O ângulo entre u e w vale 60 °

E aí a nossa missão aqui vai ser calcular u + v + w

Para isso, vamos aproveitar o que a gente sabe sobre a expansão de produto notável com vetores, pode ser?

u + v 2 = u 2 + 2 . u . v + v 2

Então bora!

Passo 2

Vamos começar encontrando u + v 2 u + v 2 = u 2 + 2 . u . v + v 2

Como u e v são ortogonais, o produto escalar u . v vale 0 . Além disso, sabemos que u = 3 , v = 4 . Então:

u + v 2 = 3 2 + 2 ∙ 0 + 4 2

u + v 2 = 9 + 16 = 25

Então

u + v = 5

Ta, mas por que a gente calculou isso???

Acontece que se queremos calcular u + v + w , podemos fazer isso assim:

u + v + w 2 = u + v 2 + 2 . u + v . w + w 2

E agora já temos uma informação que vai ajudar aí! Então vamos lá!

Passo 3

Então vamos fazer:

u + v + w 2 = u + v 2 + 2 . u + v . w + w 2

Sabemos que u + v 2 = 25 e w = 2

Por propriedade de produto escalar, podemos escrever u + v ∙ w como u ∙ w + v ∙ w :

u + v + w 2 = 25 + 2 . u ∙ w + v ∙ w + 2 2

Como v é ortogonal a w , temos que v . w = 0

Como u forma um ângulo de 60 ° com w , o produto escalar entre eles vai ser u . w . cos ⁡ 60 ° :

u + v + w 2 = 25 + 2 . u . w . cos ⁡ 60 ° + 2 . 0 + 4

u + v + w 2 = 2 9 + 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 2

u + v + w 2 = 29 + 6 = 35

Portanto:

u + v + w = 35

E é isso galera hahaha

Resposta

u + v + w = 35

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