Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Seja B = e 1 , e 2 , e 3 uma base de V 3 tal que

- e 1 = e 3 = 1 , e 2 = 2

- o ângulo entre e 1 e e 2 mede 45 °

- e 3 é ortogonal tanto a e 1 quanto a e 2

Considere os vetores u = 0 , - 1,2 e v = - 1,2 , 1 . Então, o produto escalar u . v é igual a

a) - 1

b) 0

c) 1

d) - 2

e) 2

Passo 1

Oii pessoal, tudo certo? Vem comigo!

Temos uma base B = e 1 , e 2 , e 3 e dois vetores escritos nessa base:

u = 0 , - 1,2

v = - 1,2 , 1

E aí queremos encontrar o produto escalar u . v

O ponto de partida pra essa questão é lembrar o seguinte: se os vetores estão escritos na base B , então podemos escrevê-los assim:

u = 0 , - 1,2 = 0 . e 1 - 1 . e 2 + 2 . e 3

v = - 1,2 , 1 = - 1 . e 1 + 2 . e 2 + 1 . e 3

E então, o produto escalar entre eles vai ser

u . v = 0 . e 1 - 1 . e 2 + 2 . e 3 . - 1 . e 1 + 2 . e 2 + 1 . e 3

Agora é só a gente usar o que sabemos sobre e 1 , e 2 , e 3 para encontrarmos esse produto escalar :P

Passo 2

Sabemos que

- e 1 = e 3 = 1 , e 2 = 2

- o ângulo entre e 1 e e 2 mede 45 °

- e 3 é ortogonal tanto a e 1 quanto a e 2

Então vamos usar isso para calcular esse produto escalar:

u . v = - 1 . e 2 + 2 . e 3 . - 1 . e 1 + 2 . e 2 + 1 . e 3

Fazendo a distributiva dos termos, vamos ficar com

u . v = e 2 . e 1 - 2 . e 2 . e 2 - e 2 . e 3 - 2 e 3 . e 1 + 4 . e 3 . e 2 + 2 . e 3 . e 3

Como e 3 é ortogonal a e 1 e a e 2 , já sabemos que o produto escalar com eles vale 0 : e 3 . e 1 = e 3 . e 2 = 0

u . v = e 2 . e 1 - 2 e 2 . e 2 - 0 - 0 + 0 + 2 . e 3 . e 3

u . v = e 2 . e 1 - 2 e 2 . e 2 + 2 . e 3 . e 3

Passo 3

Então agora sobrou isso aqui:

u . v = e 2 . e 1 - 2 e 2 . e 2 + 2 . e 3 . e 3

Vamos lembrar de duas coisas sobre produto escalar:

- x . y = x . y . cos ⁡ θ , onde θ é o ângulo entre os vetores

- x . x = x 2

Então, o nosso produto escalar vai ficar assim:

u . v = e 2 . e 1 . cos ⁡ 45 ° - 2 . e 2 2 + 2 . e 3 2

Uhuuu, substituindo os valores:

u . v = 2 . 1 . cos ⁡ 45 ° - 2 . 2 2 + 2 . 1 2

u . v = 2 . 2 2 - 4 + 2

Portanto:

u . v = 1 - 2 = - 1

E a alternativa correta é a letra A :D

Resposta

a) -1

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