Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Considere o espaco vetorial de R 4 munido do seu produto interno usual e seja S o subespaço de R 4 definido por:

S = { ( x , y , z , t ) |   - 3 x - 2 y + z = 0   e   - 5 x - 3 y + t = 0 }

Temos que S ⊥ é igual a:

(a) [ ( - 3 , - 2,1 , 0 ) ] ;

(b)   [ ( - 3 , - 2,1 , 0 ) , ( - 5 , - 3,0 , 1 ) ] ;

(c) [ ( 2 , 0,0 , - 1 ) , ( 1,0 , 0,1 ) ] ;

(d) [ ( 1 , 1,0 , 0 ) , ( 2,1 , 1,0 ) ] ;  

(e)   [ ( - 5 , - 3,0 , 1 ) ] .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir qual é o S ⊥ de S = { ( x , y , z , t ) |   - 3 x - 2 y + z = 0   e   - 5 x - 3 y + t = 0 }

lembrando que S ⊥ é tal que

se u ∈ S ⊥   e   v ∈ S   e n t ã o

< u ; v > = 0

Como S = { ( x , y , z , t ) |   - 3 x - 2 y + z = 0   e   - 5 x - 3 y + t = 0 }

Então os elementos de S satisfazem as duas equações do plano, isso quer dizer que os vetores normais a cada um dos planos também serão normais aos elementos de S .

Como o vetor normal de cada um dos planos é

( - 3 , - 2,1 , 0 )   e   ( - 5 , - 3,0 , 1 )

temos que

Se v ∈ S , então

< ( - 3 , - 2,1 , 0 ) , v > = 0

<   ( - 5 , - 3,0 , 1 ) , v > = 0

Logo, o complemento ortogonal S ⊥ é dado por

[ ( - 3 , - 2,1 , 0 )   , ( - 5 , - 3,0 , 1 ) ]

Vetores presentes na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma quest��o. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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