Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Calcular o módulo dos vetores u → + v → e u → - v → , sabendo que u → = 4 ,   v → = 3 e o ângulo entre u → e v → é de 60 ° .

Passo 1

Esse problema nos dá os seguintes dados:

u → = 4 ,   v → = 3     e   θ = 60 °

Pede para calcularmos o módulo dos vetores u → + v → e u → - v → .

Passo 2

Não sei nem por onde começar, ferrou!!!

Calma, tem alguns conhecimentos prévios que são fundamentais. Esse, é aquele tipo de exercício que sabemos resolver se já o vimos uma vez na vida hehe.

Lembra da Regra dos Cossenos, lá do Vestibular??? Se não se lembrar, relaxa aí!!

Repara que o lado c é o lado que está oposto ao ângulo θ , e os lados a e b são os que aparecem entre esse ângulo!

Passo 3

Olhando a figura acima podemos fazer uma associação entre os lados do triângulo com vetores.

Ué, como assim? O lado é um tamanho e o vetor é uma seta!

Isso mesmo, mas você pode ver os lados como se fossem o módulo do vetor, já que o módulo representa o tamanho do vetor.

Assim, com os dados do problema temos que:

A setinha 1 indica o caso do vetor u → - v → . Se você não lembra de como faz essa diferença de vetores dá uma olhadinha rápida lá no tópico de Introdução aos Vetores =)

O problema nos pede para calcular o módulo desse vetor u → - v → .

Para isso, vamos utilizar a Regra dos Cossenos que vimos no Passo 2.

Aplicando essa regra no triângulo da setinha 1, vamos ter:

| u → - v → | 2 = | u → | 2 + - v → | 2 - 2 u → | | - v → | cos ⁡ 60 °

Como sabemos que módulo indica o comprimento do vetor, então o sentido do vetor, ou seja, ele ser v → ou - v → não altera o seu módulo, apenas o sentido.

Com os dados fornecidos no enunciado chegamos que:

u → - v → 2 =   4 2 + 3 2 - 2.4 . 3 . 1 2 →   u → - v → 2 = 13  

Assim,

u → - v → = 13

Passo 4

Para finalizar, consideraremos a setinha 2 que indica o caso u → + v → . De novo, se você não lembra de como faz essa soma de vetores dá uma olhadinha rápida lá no tópico de Introdução aos Vetores =)

O passo a passo é o mesmo do caso u → - v → , só temos que nos atentar que agora o ângulo θ   a ser considerado não é mais 60 ° e sim 120 ° como mostra a figura, já que o θ corresponde ao ângulo oposto a u → + v → .

| u → + v → | 2 = | u → | 2 + v → | 2 - 2 u → | | v → | cos ⁡ 120 °

u → + v → 2 =   4 2 + 3 2 - 2.4 . 3 . - 1 2 →   u → + v → 2 = 37  

Assim,

u → + v → = 37

Resposta

u → - v → = 13

u → + v → = 37

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