Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial com produto interno , e sejam u , v   ∈ V . Então u + v = u + v se, e somente se,

a   u , v = u   v

b   u ⊥ v

c   u ≠ 0 V   e   v ≠ 0 V

d u , v =   u   v

e   u = 0 V   o u   v = 0 V

Passo 1

Falaaaa, blz?? Bom, a motivação para esse problema é pensar que produto interno tá relacionado com o módulo ao quadrado, então uma das motivações para aparecer o produto interno é elevar ao quadrado.

Vamos fazer isso em u + v = u + v

u + v 2 = u 2 + v 2 + 2 u v = u + v 2

Passo 2

Agora aplicamos o que eu comentei no início:

u + v 2 =   u + v , u + v

Mas u + v , u + v =   u , u + v + v , u + v = u , u + u , v + v , u + v , v

D a i   u + v , u + v =   u , u + 2 u , v + v , v

Além disso:

u 2 + v 2 + 2 u v = u , u + v , v + 2 u v

Passo 3

Igualando tudo:

u , u + v , v + 2 u v =   u , u + 2 u , v + v , v

Logo:

u v = u , v  

Resposta

Letra A

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