Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações

I   ∀   u → , v → ∈ V 3 ,   u → + v → = u → + v →   ↔ u → , v →   é   L . D

I I   ∀   u → , v → ∈ V 3 ,   u → + v → ⊥ u → - v → → u → = v →

I I I   ∀   u → , v → ∈ V 3 ,   u → + v → = u → - v → ↔   u → ⊥ v →

Então está certo o que se afirma em:

a )   I   s o m e n t e

b )   I I   s o m e n t e

c )   I I   e   I I I   s o m e n t e

d )   I , I I   e   ( I I I )

e )   I I I   s o m e n t e

Passo 1

Faaaalaa, blz?? Bora para essa questãozinha, primeira coisa antes de fazermos contas é pensar sobre o que a questão fala e como podemos atacar. Primeiro veja que a questão fala de módulo e ângulo entre vetores, ou seja, tem algo que relaciona esses dois, consegue lembrar??

Os itens podem ser atacados por produto escalar, pois temos algumas propriedades que se encaixam na questão, bora citar:

i )   v → ∙ u → + w → = v → ∙ u → + v → ∙ w →

i i )   α v → ∙ β u → = α β ( v → ∙ u → )

i i i )   v → = v → ∙ v → ↔ v → ∙ v → = v → 2

i v )   b → ∙ a → = a → ∙ b →

Passo 2

Então bora lá, usando essas propriedades e atacando os itens:

I   ∀   u → , v → ∈ V 3 ,   u → + v → = u → + v →   ↔ u → , v →   é   L . D

Usando (iii):

u → + v → =   ( u → + v → ) ∙ u → + v →

Usando (i):

u → + v → = u → ∙ u → + v → + v → ∙ u → + v →  

Usando novamente:

u → + v → = u → ∙ u → + u → ∙ v → + v → ∙ u → + v → ∙ v → = u → ∙ u → + 2 u → ∙ v → + v → ∙ v →

u → + v → = u → 2 + 2 u → ∙ v → + v → 2

Agora, vamos igualar ao enunciado:

u → + v → = u → 2 + 2 u → ∙ v → + v → 2 = u → + v →  

Veja que precisaríamos que:

u → 2 + 2 u → ∙ v → + v → 2 = u → + v → 2    

Ou seja, precisaríamos que:

2 u → ∙ v → = 2 u → v →

u → ∙ v → = u → v →

Mas como u → ∙ v → = u → v →   c o s θ = u → v →   ↔ c o s θ = 1 ∴ θ = 0  

Agora, se θ que é o ângulo entre u →   e   v → é zero, eles são paralelos, ou seja, são L.D

Bora agora para próxima afirmação:

I I   ∀   u → , v → ∈ V 3 ,   u → + v → ⊥ u → - v → → u → = v →

Aqui usaremos que u → ⊥ v →   → u → ∙ v → = 0

Basicamente vamos fazer u → + v → ∙ u → - v → = 0 e ver se da u → = v →

Usando (i):

u → + v → ∙ u → - v → =   u → ∙ u → - v → + v → ∙ u → - v →

Novamente:

u → + v → ∙ u → - v → = u → ∙ u → - u → ∙ v → + v → ∙ u → - v → ∙ v →

Usando (iii) e (iv):

u → + v → ∙ u → - v → = u → 2 - v → 2 = 0

Daqui tiramos que u → 2 = v → 2 , como ambos são positivos u → = v →

Passo 3

Agora falta a última afirmação, bora lá:

I I I   ∀   u → , v → ∈ V 3 ,   u → + v → = u → - v → ↔   u → ⊥ v →

Já calculamos que u → + v → = u → 2 + 2 u → ∙ v → + v → 2

Agora olhando para o outro termo:

u → - v → = u → - v → ∙ u → - v →

u → - v → = u → ∙ u → - v → - v → ∙ u → - v →

u → - v → = u → ∙ u → - u → ∙ v → - u → ∙ v → + v → ∙ v →

u → - v → = u → ∙ u → - 2 ( u → ∙ v → ) + v → ∙ v →

u → - v → = u → 2 - 2 u → ∙ v → + v → 2

Igualando:

u → + v → = u → - v →

u → 2 + 2 u → ∙ v → + v → 2 = u → 2 - 2 u → ∙ v → + v → 2  

u → 2 + 2 u → ∙ v → + v → 2 = u → 2 - 2 u → ∙ v → + v → 2

u → ∙ v → = - u → ∙ v →

Aqui temos uma igualdade do tipo x = - x , ou seja, só ocorre quando   x = 0

Então u → ∙ v → → u → ⊥ v →

Finalmente acabamos, aqui usamos apenas as propriedades de produto escalar, porém para chegar nessa sacada de trazer o problema para produto escalar foi necessário ter calma ao iniciar a questão e analisar como atacar, uma prova de como é importante ter noção dos passos que está fazendo, além de ter uma bagagem sobre a matéria.

Resposta

Letra D

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Determine a + b , 2 a + 3 b , |a| e |a - b| . 18. a = 4 i + j , b = i - 2 j