Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

( I ) se ∑ = ( O ,   ε ) for um sistema de coordenadas em E 3 em que ε é uma base ortonormal de V 3 , então a área do triângulo de vértices 1,1 , 1 ∑ ,   0,2 , - 1 ∑ e 3,1 , 0 ∑ será igual a 30 2 .

( I I ) se v → ,   w → ∈ V 3 forem vetores não nulos e paralelos, então:

p r o j v → x → = p r o j w → x → ,

para qualquer x → ∈ V 3 ;

( I I I ) a matriz

- 1 1 - 2 - 1 2 0 2 - 3 1

É invertível e sua inversa é

2 5 4 1 3 2 - 1 - 1 - 1

Assinale a alternativa correta:

a) todas as afirmações são verdadeiras;

b) apenas a afirmação ( I I I ) é verdadeira;

c) apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras;

d) apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são verdadeiras;

e) apenas as afirmações ( I ) e I I são verdadeiras.

Passo 1

Ooii pessoal, tudo bom?

Nessa questão precisamos avaliar três afirmações.

Na afirmação ( I ) é falado que para um sistema de coordenadas ∑ = ( O ,   ε ) , onde ε é uma base ortonormal de V 3 , a área do triângulo com vértices:

1,1 , 1 ∑ ,   0,2 , - 1 ∑ e 3,1 , 0 ∑

Vale 30 / 2 .

Para avaliar essa afirmação precisamos relembrar como calcular a área de um triângulo no V 3 .

A = u → × v → 2

onde u → e v → representam dois lados do triângulo.

Assim, como temos os vértices, podemos afirmar que:

u → =   0,2 , - 1 ∑ - 1,1 , 1 ∑

O sistema de coordenadas que foi falado no enunciado é bem semelhante ao que estamos acostumados, basta considerarmos que O é a própria origem de V 3 . Assim:

1,1 , 1 ∑ = O + 1,1 , 1 ⋅ ( e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 )

Essa é a maneira mais formal de entender, mas na prática o que vai nos interessar é que:

u → = 0,2 , - 1 ∑ - 1,1 , 1 ∑  

= 0 - 1 ,   2 - 1 ,   - 1 - 1

∴ u → = ( - 1,1 , - 2 )

Usando o mesmo raciocínio para encontrar o segundo vetor, temos:

v → = 0,2 , - 1 ∑ -   3,1 , 0 ∑

= - 3 ,   1 ,   - 1

Assim, a área do triângulo vale:

A = - 1 ,   1 ,   - 2 × - 3,1 , - 1 2

Resolvendo o produto vetorial:

- 1 ,   1 ,   - 2 × - 3,1 , - 1 = i j k - 1 1 - 2 - 3 1 - 1

= - 1 + 2 i + 6 - 1 j + - 1 + 3 k

= 1 i + 5 j + 2 k

= 1 2 + 5 2 + 2 2

= 30

Assim, temos que:

A = 30 2

Portanto, a afirmação ( I ) é verdadeira.

Passo 2

A segunda afirmação diz que se v → e w → são paralelos, então para qualquer vetor x → , vale que:

p r o j v → x → = p r o j w → x →

Bom, vamos relembrar a fórmula de projeção:

p r o j v → x → = x → ⋅ v → v → 2 ⋅ v →

Massa! Mas, se v → / / w ⃗ , então podemos dizer que:

w → = t ⋅ v →

Logo:

p r o j w → x → = x → ⋅ w → w → 2 ⋅ w →

Substituindo w → = t ⋅ v → , vem:

x → ⋅ w → w → 2 ⋅ w → = x → ⋅ t v → t ⋅ v → 2 ⋅ t v →

= t 2 t 2 x → ⋅ v → v → 2 ⋅ v →

Portanto:

p r o j w → x → = p r o j v → x →  

Que é exatamente o que a afirmação ( I I ) fala. Portanto, ela é verdadeira!

Passo 3

Por fim, é dito que:

2 5 4 1 3 2 - 1 - 1 - 1

É a matriz inversa de:

- 1 1 - 2 - 1 2 0 2 - 3 1

Para verificar essa afirmação podemos fazer o produto das duas matrizes. Pois, o produto de uma matriz com sua inversa precisa resultar na identidade.

Assim:

- 1 1 - 2 - 1 2 0 2 - 3 1 ⋅ 2 5 4 1 3 2 - 1 - 1 - 1 =

= 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Portanto, de fato a afirmação ( I I I ) é verdadeira.

O que nos dá letra a).

Prontinho pessoal, então é isso. Muito obrigado pela atenção de vocês!

Resposta

Letra a).

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