Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Calcular o ângulo entre os vetores u → = ( 1 ,   1 ,   4 ) e v → = - 1 ,   2 ,   2 .

Passo 1

Ângulo??? Mas, até agora não vímos nada de ângulo!!!

Relaxa Aí!!

Nós vimos na teoria que o produto escalar entre dois vetores equivale a:

u → ∙ v → = | u → | | v → | cos ⁡ θ

Sendo o θ o ângulo entre os vetores u → e v → , os mesmo que queremos descobrir.

Passo 2

Então, devemos determinar o valor de u → ∙ v → , | u → | e | v → | . Vamos começar calculando os módulos dos vetore!!

u → = 1 ,   1 ,   4 → u → = 1 2 + 1 2 + 4 2 = 18 = 3 2

v → = - 1 ,   2 ,   2 → v → = - 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9 = 3

Falta calcular o produto interno u → ∙ v → .

  u → ∙ v → = 1 ,   1 ,   4 ∙ - 1 ,   2 ,   2 = 1 . - 1 + 1.2 + 4.2 = 9

Passo 3

Agora, que temos todos os valores podemos achar o ângulo.

u → ∙ v → = u → | | v → cos ⁡ θ →   9 = 3 2 . 3 . cos ⁡ θ

c o s θ = 1 2

Multilicando por 2 em cima e em baixo da fração do lado direito:

cos ⁡ θ = 2 2

Então temos um ângulo θ cujo cosseno é 2 2 .

Sabemos que o ângulo cujo cosseno tem esse valor é o de 45 ° , certo?

Isso pode ser escrito como:

cos - 1 ⁡ 2 2 = 45 °

Looogo:

θ = 45 °

Resposta

θ = 45 °

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