Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 2.

Calcule ∂ w ∂ r e ∂ w ∂ t para

w = x y + y z + x z

x = r

y = r cos ⁡ t

z = r sen ⁡ t

Passo 1

Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!

Para derivada de w em relação a r :

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ r + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ r

E para a derivada de w em relação a t :

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, então, calcular o gradiente de w ( x , y , z ) :

w = x y + y z + x z

δ w δ x = y + z

δ w δ y = x + z

δ w δ z = y + x

Passo 3

Ok, agora vamos calcular o gradiente de x :

x = r

δ x δ r = 1

δ x δ t = 0

Passo 4

E o gradiente de y :

y = r cos ⁡ t

δ y δ r = cos ⁡ t

δ y δ t = - r sen ⁡ t

Passo 5

E, por fim, o gradiente de z :

z = r sen ⁡ t

δ z δ r = sen ⁡ t

δ z δ t = r cos ⁡ t

Passo 6

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo 1 !

A derivada de w em relação a r :

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ r + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ r

∂ w ∂ r = y + z ∙ 1 + x + z ∙ cos ⁡ t + y + x ∙ sen ⁡ t

∂ w ∂ r = y + z + x cos ⁡ t + z cos ⁡ t + y sen ⁡ t + x sen ⁡ t

∂ w ∂ r = x cos ⁡ t + sen ⁡ t + y 1 + sen ⁡ t + z ( 1 + cos ⁡ t )

Mas, como

x = r

y = r cos ⁡ t

z = r sen ⁡ t

Ficamos com

∂ w ∂ r = r cos ⁡ t + sen ⁡ t + r cos ⁡ t + cos ⁡ t sen ⁡ t + r ( sen ⁡ t + sen ⁡ t cos ⁡ t )

∂ w ∂ r = r 2 cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

∂ w ∂ r = r 2 cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t + sen ⁡ 2 t

Passo 7

E a derivada de w em relação a t fica:

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ t

∂ w ∂ t = y + z ∙ 0 + x + z ∙ ( - r sen ⁡ t ) + y + x ∙ r cos ⁡ t

∂ w ∂ t = - r x sen ⁡ t - r z sen ⁡ t + r y cos ⁡ t + r x cos ⁡ t

∂ w ∂ t = r x cos ⁡ t - sen ⁡ t + r ( y cos ⁡ t - z sen ⁡ t )

Mas, como

x = r

y = r cos ⁡ t

z = r sen ⁡ t

Ficamos com

∂ w ∂ t = r . r cos ⁡ t - sen ⁡ t + r ( r cos ² ⁡ t - r sen ² ⁡ t )

∂ w ∂ t = r ² cos ⁡ t - sen ⁡ t + r ² ( cos ² ⁡ t - sen ² ⁡ t )

∂ w ∂ t = r ² cos ⁡ t - sen ⁡ t + cos 2 ⁡ t - ( 1 - cos 2 ⁡ t )  

∂ w ∂ t = r ² cos ⁡ t - sen ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 1  

∂ w ∂ t = r ² cos ⁡ t - sen ⁡ t + cos ⁡ 2 t

Resposta

∂ w ∂ r = r 2 cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t + sen ⁡ 2 t

∂ w ∂ t = r ² cos ⁡ t - sen ⁡ t + cos ⁡ 2 t

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