Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 6.

Seja

w = x 2 + y 2 - z ²

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Calcule w ρ , w ϕ e w θ .

Passo 1

Essa questão vai ser fácil, porém, chata!

Temos que calcular essas derivadas parciais pela regra da cadeia. Assim

∂ w ∂ ρ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ ρ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ ρ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ ρ

∂ w ∂ ϕ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ ϕ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ ϕ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ ϕ

E

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ θ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar por w ρ   :

∂ w ∂ ρ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ ρ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ ρ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ ρ

∂ w ∂ ρ = 2 x ∙ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 2 y ∙ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ - 2 z ∙ cos ⁡ ϕ

Mas, como

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Ficamos com

∂ w ∂ ρ = 2 ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 2 ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ - 2 ρ cos ⁡ ϕ ∙ cos ⁡ ϕ

∂ w ∂ ρ = 2 ρ sen ² ⁡ ϕ cos ² ⁡ θ + 2 ρ sen ² ⁡ ϕ sen ² ⁡ θ - 2 ρ cos ² ⁡ ϕ

∂ w ∂ ρ = 2 ρ sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ - 2 ρ cos 2 ⁡ ϕ )

∂ w ∂ ρ = 2 ρ sen 2 ⁡ ϕ - 2 ρ cos 2 ⁡ ϕ

∂ w ∂ ρ = - 2 ρ ( cos 2 ⁡ ϕ - sen 2 ⁡ ϕ )

∂ w ∂ ρ = - 2 ρ cos ⁡ 2 ϕ

Passo 3

Agora w ϕ :

∂ w ∂ ϕ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ ϕ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ ϕ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ ϕ

∂ w ∂ ϕ = 2 x ∙ ρ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 2 y ∙ ρ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ - 2 z ∙ - ρ sen ⁡ ϕ

Mas como

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Ficamos com

∂ w ∂ ϕ = 2 ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ∙ ρ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 2 ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ∙ ρ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ - 2 ρ cos ⁡ ϕ ∙ - ρ sen ⁡ ϕ

∂ w ∂ ϕ = 2 ρ ² sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 2 ρ ² sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ sen 2 ⁡ θ + 2 ρ ² cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ

∂ w ∂ ϕ = 2 ρ ² sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + 1 )

∂ w ∂ ϕ = 2 ρ ² sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ( 2 )

∂ w ∂ ϕ = 2 ρ ² sen ⁡ 2 ϕ

Passo 4

Por fim, vamos para w θ :

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ θ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ θ

∂ w ∂ θ = 2 x ∙ - ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ + 2 y ∙ ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 2 z ∙ 0

Mas como

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Ficamos com

∂ w ∂ θ = 2 ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ∙ - ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ + 2 ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ∙ ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

∂ w ∂ θ = - 2 ρ ² sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ sen ⁡ θ + 2 ρ ² sen ² ⁡ ϕ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

∂ w ∂ θ = 0

Passo 5

Criei esse passo aqui só pra reforçar como essa questão foi chata!!

Mas fica ligado nas identidades trigonométricas, porque se a gente não lembrasse delas, não íamos conseguir fazer essa questão .-.

Resposta

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