Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 5

O que está errado com o seguinte argumento?

“Suponha que w = f ( x , y ) com y = x ² . Pela regra da cadeia:

∂ w ∂ x = ∂ w ∂ x . ∂ x ∂ x + ∂ w ∂ y . ∂ y ∂ x     →     ∂ w ∂ x = ∂ w ∂ x + 2 x ∂ w ∂ y

Assim, 0 = 2 x ∂ w ∂ y , de modo que ∂ w ∂ y = 0

Passo 1

-

What?? Esse argumento não faz sentido, né? Mas a pergunta que não quer calar é: por que não?

Vamos lá. Usamos a regra da cadeia para descobrir a derivada de uma função composta, certo? Em uma função composta, temos a função de fora e a/as função de dentro.

Quando usamos a regra da cadeia, o que fazemos é: a derivada da função composta é igual a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro.

Quando temos uma função de mais de uma variável, usamos derivadas parciais, mas a ideia do que estamos fazendo é exatamente a mesma.

Assim, o que temos na expressão

∂ w ∂ x = ∂ w ∂ x . ∂ x ∂ x + ∂ w ∂ y . ∂ y ∂ x

É:

A derivada parcial em relação a x da função composta é igual a derivada parcial em relação a x da função de fora (que é uma função de x e y ) vezes a derivada parcial em relação a x da função de dentro (que também é uma função de x ), mais a derivada parcial em relação a y da função de fora (que é uma função de x e y ), vezes a derivada parcial em relação a x da função de dentro (que também é uma função de x ). Sendo que essas funções de dentro, são as funções x e y , que tem como variáveis a variável x .

Assim, não podemos subtrair os termos ∂ w ∂ x que aparecem dos dois lados da equação pois, embora pareçam iguais, eles tem significados diferentes: o primeiro é a derivada parcial da função composta e o segundo é a derivada parcial da função de fora.

Sacou?!

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