Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFPE, Cálculo 2, EE1, 2016.1, questão 2

Utilize a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t quando z = s e n 3 θ - c o s ϕ ; θ s , t = s t 2 e ϕ s , t = 1 - s 2 t

Passo 1

Sabemos que:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ s + ∂ z ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ s

Sabemos também que:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ t + ∂ z ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ t

Então, vamos começar calculando as derivadas parciais de z . Vai ficar:

∂ z ∂ θ = 3 cos ⁡ 3 θ - c o s ϕ

∂ z ∂ ϕ = cos ⁡ 3 θ - c o s ϕ s e n ϕ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de θ e ϕ . Começando por θ :

∂ θ ∂ s = t 2

∂ θ ∂ t = 2 s t

Passo 3

Fazendo as derivadas parciais de ϕ :

∂ ϕ ∂ s = - 2 s t

∂ ϕ ∂ t = - s 2

Passo 4

Substituindo, encontramos:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ s + ∂ z ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ s

∂ z ∂ s = 3 cos ⁡ 3 θ - c o s ϕ t 2 + cos ⁡ 3 θ - c o s ϕ s e n ϕ ( - 2 s t )  

∂ z ∂ s = cos ⁡ 3 θ - c o s ϕ 3 t 2 - 2 s t s e n ϕ

Lembrando que θ s , t = s t 2 e ϕ s , t = 1 - s 2 t . Substituindo:

∂ z ∂ s = cos ⁡ 3 s t 2 - cos ⁡ 1 - s 2 t 3 t 2 - 2 s t s e n 1 - s 2 t

Passo 5

Fazendo de modo semelhante, temos:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ t + ∂ z ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ t

∂ z ∂ t = 3 cos ⁡ 3 θ - c o s ϕ ( 2 s t )   + cos ⁡ 3 θ - c o s ϕ s e n ϕ - s 2

∂ z ∂ t = cos ⁡ 3 θ - c o s ϕ 6 s t - 3 s 2 s e n ϕ

Lembrando que θ s , t = s t 2 e ϕ s , t = 1 - s 2 t . Substituindo:

∂ z ∂ t = cos ⁡ 3 s t 2 - cos ⁡ 1 - s 2 t 6 s t - 3 s 2 s e n 1 - s 2 t  

Resposta

∂ z ∂ s = cos ⁡ 3 s t 2 - cos ⁡ 1 - s 2 t 3 t 2 - 2 s t s e n 1 - s 2 t

∂ z ∂ t = cos ⁡ 3 s t 2 - cos ⁡ 1 - s 2 t 6 s t - 3 s 2 s e n 1 - s 2 t  

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