Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Sejam z = 3 x y - 4 y 2 , x = 2 s e r ,   y = r e - s . Determine ∂ 2 f ∂ r 2 e ∂ f ∂ s ∂ r de duas maneiras:

  1. Usando a regra da cadeia

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Primeira coisa que precisamos notar aqui é que as derivadas são em função de f e não de z , ou seja, antes precisamos escrever nossa função no formato homogêneo, em outras palavras, colocar todas letras pra um lado e deixar ela igual a zero.

f = 3 x y - 4 y 2 - z

Passo 2

Agora, vamos expressar nossa função em relação de r e s.

f = 6 s e r r e s - 4 r 2 e 2 s - z

Vamos derivar agora:

∂ f ∂ r = 6 s e s d d r e r r - 4 e 2 s d d r r 2

∂ f ∂ r = 6 s e s e r + r e r - 8 r e 2 s

Passo 3

Derivando mais uma vez, temos:

∂ 2 f ∂ r 2 = 6 s e s e r + e r r - 8 e 2 s

Show!! Agora vamos fazer a outra derivada que o enunciado tá pedindo:

∂ f ∂ s = 6 e r r d d s s e - s - 4 r 2 d d s e - 2 s

∂ f ∂ s = - 6 e r r e - s - s e - s - 4 r 2 - 2 e - 2 s

∂ f ∂ s = - 6 e r e - s r 1 - s + 8 r 2 e - 2 s

∂ 2 f ∂ s ∂ r = - 6 e - s 1 - s d d r r e r + e - 2 s d d r 8 r 2

∂ 2 f ∂ s ∂ r = - 6 e s 1 - s e r + r e r + 16 r e 2 s

Resposta

∂ 2 f ∂ r 2 = 6 s e s e r + e r r - 8 e 2 s

∂ 2 f ∂ s ∂ r = - 6 e s 1 - s e r + r e r + 16 r e 2 s

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t