Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Considere a função f ( x ,   y ,   z ) = x + y e z e a curva σ ( t ) = ( t ,   t ² + 1 ,   t - t ³ ) . O valor de ( f ° σ ) ’ ( 1 ) é:

Escolha uma opção:

  1. -1
  2. 7
  3. 5
  4. 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

( f ° σ ) ( 1 ) , mas o que é isso?

f ° σ é a composição da função f (que é função de x e y) pela função g (que é apenas em t). E o enunciado quer a derivada dessa composição, aplicada em t = 1 .

Como relembrar é viver, a composição de uma função funciona mais ou menos assim:

A gente pega a variável da função que tá ‘mais por fora e substitui pela função que está por dentro.

No nosso exercício, a função que está mais por fora é a f e a de dentro é a σ :

f ( x , y , z ) = x + y e z

E agora as variáveis x , y , z vão ser substituídas pelas componentes da função σ . A primeira componente entra no lugar do x , a segunda componente entra no lugar do y e a terceira, entra no lugar de z .

A função σ ( t ) é:

  σ ( t ) = ( t ,   t ² + 1 ,   t - t ³ )

Aí a gente vai fazer a substituição das componentes de cada cor:

Aí a função f em t fica assim:

f t = t + t 2 + 1 . e t - t 3

f t = t + t 2 e t - t 3 + e t - t 3

Passo 2

Agora que temos a função f em t , vamos derivar:

f t = t + t 2 e t - t 3 + e t - t 3

No primeiro termo, é uma simples derivação de polinômio, mas vamos fazer o segundo e o terceiro termos com calma aqui. No terceiro termo, aplicamos a regra da cadeia, pois temos uma exponencial com uma função de t no expoente.

d d t e t - t 3 = ( 1 - 3 t 2 ) e t - t 3

E no segundo termo, temos essa mesma exponencial multiplicada por t 2 . Então usamos a regra do produto e a regra da cadeia:

d d t t 2 e t - t 3 = 2 t e t - t 3 + t 2 1 - 3 t 2 e t - t 3

Então a derivada da função fica assim:

f ' t = 1 + 2 t e t - t 3 + t 2 1 - 3 t 2 e t - t 3 + ( 1 - 3 t 2 ) e t - t 3

Tranquilo?

Passo 3

E agora por fim vamos aplicar em t = 1 :

f ' 1 = 1 + 2.1 e 1 - 1 + 1 2 1 - 3.1 2 e 1 - 1 + 1 - 3.1 2 e 1 - 1

f ' 1 = 1 + 2 - 2 - 2 = - 1

Aí a alternativa que tem esse resultado é a letra (a).

Belezinha?

Espero ter te ajudado!

Até a próxima =)

Resposta

( a )

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t