Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja f : R 2 → R ,   x , y → f ( x , y ) e sejam f x x , y e f y ( x , y ) as derivadas parciais de f .

Seja h : R 2 → R 2 ,   u ,   v → h u , v = x u , v ,   y u , v , onde x u , v = e u cos ⁡ v e y u , v = - e u s e n ( v )

Considere a composta g u , v = f ∘ h u , v = f x u , v ,   y u , v .

a) Assuma ∂ g ∂ y 0,0 = g u 0,0 = 1 e ∂ g ∂ v 0,0 = g v 0,0 = - 1

Calcule f x 1,0   e   f y 1,0 e calcule ∇ f 1,0 .

b) Agora assuma que f x 1,0 = 3 e f y 1,0 = 4

Calcule g u 0,0 e g v ( 0,0 ) e calcule ∇ g 0,0 .

Passo 1

a)

O enunciado pede pra gente calcular ∇ f 1,0 .   Sabemos que ∇ f 1,0 = ( f x 1,0 ,     f y 1,0 ) , portanto é preciso calcular essas duas componentes. Vamos ver primeiro quanto vale x e y quando u , v = ( 0,0 ) , pois o enunciado nos dá informação nesse ponto.

x u , v = e u cos ⁡ v

x 0,0 = e 0 cos ⁡ 0 = 1

y u , v = - e u s e n v

y 0,0 = - e 0 s e n 0 = 0

Portanto, quando u , v = 0,0 ,     x , y = ( 1,0 )

Passo 2

No enunciado ele fala que ∂ g ∂ u 0,0 = g u 0,0 = 1 ,   montando a equação vamos ter:

∂ g ∂ u 0,0 = ∂ g ∂ x 1,0 ∂ x ∂ u 0,0 + ∂ g ∂ y 1,0 ∂ y ∂ u 0,0 = 1

Vamos calcular então ∂ x ∂ u 0,0 e ∂ y ∂ u 0,0 :

∂ x ∂ u = e u cos ⁡ v

∂ x ∂ u ( 0,0 ) = e 0 cos ⁡ 0 = 1

∂ y ∂ u = - e u s e n v

∂ y ∂ u 0,0 = - e 0 s e n 0 = 0

Logo ficamos com:

∂ g ∂ u 0,0 = f x 1,0 × 1 + f y 1,0 × 0 = f x 1,0

Como o enunciado falou que isso é igual 1 temos:

f x 1,0 = 1

Agora vamos fazer a mesma coisa para a outra equação:

∂ g ∂ v 0,0 = ∂ g ∂ x 1,0 ∂ x ∂ v 0,0 + ∂ g ∂ y 1,0 ∂ y ∂ v 0,0 = - 1

∂ x ∂ v = e u - sen ⁡ v

∂ x ∂ v ( 0,0 ) = e 0 - sen ⁡ 0 = 0

∂ y ∂ v = - e u c o s v

∂ y ∂ v 0,0 = - e 0 c o s 0 = - 1

∂ g ∂ v 0,0 = f x 1,0 × 0 + f y 1,0 × - 1 = - f y 1,0 = - 1

f y 1,0 = 1

Passo 3

Agora basta a gente substituir e correr para o abraço:

∇ f 1,0 = ( f x 1,0 ,   f y 1,0 )

∇ f 1,0 = 1,1

Passo 4

b)

Como já vimos antes:

g u 0,0 = ∂ g ∂ u 0,0 = ∂ g ∂ x 1,0 ∂ x ∂ u 0,0 + ∂ g ∂ y 1,0 ∂ y ∂ u 0,0

g v 0,0 = ∂ g ∂ v 0,0 = ∂ g ∂ x 1,0 ∂ x ∂ v 0,0 + ∂ g ∂ y 1,0 ∂ y ∂ v 0,0

A diferença aqui vai ser que:

f x 1,0 = 3   e   f y 1,0 = 4

Como já calculamos cada derivada parcial antes basta substituir:

g u 0,0 = 3 × 1 + 4 × 0 = 3

g v 0,0 = 3 × 0 + 4 × - 1 = - 4

∇ g 0,0 = g u 0,0 , g v 0,0 = ( 3 , - 4 )

Resposta

L e t r a   a :   ∇ f 1,0 = 1,1

L e t r a   b :   ∇ g 0,0 = ( 3 , - 4 )

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t