Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja f : R 2 → R   ,   f = f ( x , y ) , uma função de classe C 2 e defina

g u , v = f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v

  1. Determine δ 2 g δ u δ v em termos da função f e de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
  2. Se 2 x + 4 y + 3 z = 4 é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,2 , f 0,2 , determine f 0,2 ,   ∇ f 0,2   e   ∇ g 1,1 .
  3. Sabendo que δ 2 f δ x 2 0,2 = 2 ,   δ 2 f δ y 2 0,2 = 4 e que   δ 2 f δ x δ y 0,2 = 1 , calcule δ 2 g δ u δ v 1,1 .

Passo 1

a)

Temos aqui uma função f x , y , que podemos dizer se igual à f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v . Assim, temos que:

x u , v = u 2 - v 3 y v , u = 2 u 2 v

Beleza! Agora, como g u , v = f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v , só precisamos usar a regra da cadeia encontrar δ 2 g δ u δ v , pois, na real, o que faremos é derivar a função f .

Passo 2

Usando a regra da cadeia, teremos, para a primeira derivada de f em relação a v , por exemplo (por que como δ 2 f δ u δ v = δ 2 f δ v δ u , tanto faz em relação a qual derivamos primeiro) :

δ f δ v = ∇ f x , y . x ' u , v , y ' u , v

δ f δ v = δ f x , y δ x , δ f x , y δ y . x ' u , v , y ' u , v

Lembrando que as derivadas x ' e y ' são em relação a v , pois estamos calculando δ f δ v , e que x e y são função de u e v , teremos:

δ f δ v = δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x , δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y . - 3 v 2 , 2 u 2

δ f δ v = - 3 v 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x + 2 u 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y

Passo 3

Agora podemos calcular a próxima derivada, em relação a u . Basta que derivemos cada termo da soma em relação a u :

δ 2 f δ u δ v = - 3 v 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x ' + 2 u 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y '

E vamos usar a regra do produto dentro de cada termo. Ficando assim:

- 3 v 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x ' = - 3 v 2 ' . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x + δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x ' . - 3 v 2

Como - 3 v 2 ' = 0 , pois nesse termo não temos nenhuma variável u , fica apenas que:

- 3 v 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x ' = δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x ' . - 3 v 2

E, para o segundo termo, teremos que :

2 u 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y ' = 2 u 2 ' . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y + δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y ' . 2 u 2

E, por fim, nossa equação fica:

δ 2 f δ u δ v = δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x ' . - 3 v 2 + 2 u 2 ' . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y + δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y ' . 2 u 2

Passo 4

Agora vamos calcular essa bagaça. Começando pelo primeiro termo, teremos:

δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x ' . - 3 v 2 = - 3 v 2 . δ 2 f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x δ x   . δ x u , v δ u +   δ 2 f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x δ y   . δ y u , v δ u

Só pra ficar mais claro o que fizemos aqui, é só tratar δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x como se fosse o f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v . Quando era só f você não derivou em relação a x , multiplicou pela derivada de x em relação a v e depois somou com a derivada em relação a y multiplicada pela derivada de y em relação a v ? Então, aqui é só fingir que δ f δ x é o " f " ;)

Colocando as derivadas de x e y em relação a u ,

δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x ' . - 3 v 2 = - 3 v 2 . δ 2 f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x δ x   . 2 u +   δ 2 f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x δ y   . 4 u v

Vei, isso tá gigante... Mas não tem jeito, é braçal mesmo. Vamos para os outros termos!

Passo 5

O próximo a ser desenvolvido é:

2 u 2 ' . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y = 4 u δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y

hahahah Bem mais fácil que o outro né? Só derivar 2 u 2 em relação a u !

Passo 6

E agora o último!

δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y ' . 2 u 2 = 2 u 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y δ x . δ x u , v δ u + δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y δ y . δ y u , v δ u

Colocando as derivadas parciais de x e y em relação a u :

δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y ' . 2 u 2 = 2 u 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y δ x . 2 u + δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y δ y . 4 u v

Passo 7

E aí está! Só juntar tudo e teremos nossa derivada em relação a u e v :

δ 2 g δ u δ v = δ 2 f δ u δ v = - 3 v 2 . δ 2 f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x δ x   . 2 u +   δ 2 f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x δ y   . 4 u v + 4 u δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y + 2 u 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y δ x . 2 u + δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y δ y . 4 u v

Passo 8

b)

Ora, o plano que nos foi dado é 2 x + 4 y + 3 z = 4 . Mas sabemos que a equação geral para o plano tangente também é:

δ f δ x . x - x 0 + δ f δ y . y - y 0 - z + z 0 = 0

Como o ponto é f 0,2 , temos que x 0 = 0 e y 0 = 2 . Assim,

δ f δ x . x - 0 + δ f δ y y - 2 - z + z 0 = 0

δ f δ x . x + δ f δ y . y - δ f δ y . 2 - z + z 0 = 0

Passo 9

Agora, colocando a equação que foi dada no mesmo molde, teremos:

2 x + 4 y + 3 z = 4

2 x + 4 y + 3 z - 4 = 0

2 3 x + 4 3 y + z - 4 3 = 0

- 2 3 x - 4 3 y - z + 4 3 = 0

Passo 10

Pronto! Agora é só comparar uma com a outra:

- 2 3 x - 4 3 y - z + 4 3 = 0

δ f δ x . x + δ f δ y . y - δ f δ y . 2 - z + z 0 = 0

Veja que, como os coeficientes de x e y são, - 2 3 e - 4 3 respectivamente, temos:

δ f 0,2 δ x = - 2 3

δ f 0,2 δ y = - 4 3

E o termos constantes somados dão o valore de f 0,2 , logo,

f 0,2 = - 4 3

E, como sabemos, g u , v = f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v , que foi dado. Assim,

g 1,1 = f 1 2 - 1 2 , 2 u 2 v = f 0,2

Portanto,

g 1,1 = f 0,2 = - 4 3

∇ f 0,2 = - 2 3 , - 4 3

Passo 11

Mas a letra b está pedindo ∇ g 1,1 . Como o ∇ g u , v = g u , g v , teremos que usar o resultado já calculado para:

δ g δ v = δ f δ v = - 3 v 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x + 2 u 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y

E calcularemos δ g δ u , pelo mesmo processo do passo 2, só mudando de variável:

δ g u , v δ u = δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ u = ∇ f x , y . x ' u , v , y ' u , v

∇ f x , y . x ' u , v , y ' u , v = δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x . δ x δ u + δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y . δ y δ u

∇ f x , y . x ' u , v , y ' u , v = δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x . 2 u + δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y . 4 u v

Assim, teremos o gradiente dado por:

∇ g u , v = δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x . 2 u + δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y . 4 u v , - 3 v 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x + 2 u 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y

Passo 12

Finalmente, apenas substituímos os valores de u   e v , ou seja, 1,1 , e os valores para δ f 0,2 δ x e δ f 0,2 δ y :

∇ g 1,1 = δ f 0,2 δ x . 2.1 + δ f 0,2 δ y . 4.1 . 1 , - 3 . 1 2 . δ f 0,2 δ x + 2 . 1 2 . δ f 0,2 δ y

∇ g 1,1 = - 2 3 . 2.1 + - 4 3 . 4.1 . 1 , - 3 . 1 2 . - 2 3 + 2 . 1 2 . - 4 3

∇ g 1,1 = - 20 3 , - 2 3

E pronto! Nosso gradiente de g no ponto u , v = 1,1 é ∇ g 1,1 = - 20 3 , - 2 3 !

Passo 13

  1. É a última! Aguente firme que tá acabando :)

Vamos calcular δ 2 g δ u δ v 1,1 . Bom, sabemos que a expressão para δ 2 g δ u δ v , do item a é:

δ 2 g δ u δ v = - 3 v 2 . δ 2 f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x δ x   . 2 u +   δ 2 f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x δ y   . 4 u v + 4 u δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y + 2 u 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y δ x . 2 u + δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y δ y . 4 u v

Como sabemos que para o ponto u , v = 1,1 , temos f 0,2 , vamos escrever isso colocando os valores de u e v e f :

δ 2 g δ u δ v = - 3 . 1 2 . δ 2 f 0,2 δ x δ x   . 2.1 +   δ 2 f 0,2 δ x δ y   . 4.1 . 1 + 4.1 . δ f 0,2 δ y + 2 . 1 2 . δ f 0,2 δ y δ x . 2.1 + δ f 0,2 δ y δ y . 4.1 . 1

Passo 14

Como o enunciado deu os valores:

  • δ 2 f δ x 2 0,2 = 2 ,   δ 2 f δ y 2 0,4 e que   δ 2 f δ x δ y 0,2 = 1

Só temos que substituir!! Veja só:

δ 2 g 1,1 δ u δ v = - 3 . 1 2 . 2.2 . 1 +   1   . 4.1 . 1 + 4.1 . δ f 0,2 δ y + 2 . 1 2 . 1.2 . 1 + 4.4 . 1.1

E já tínhamos calculado o δ f δ y ! Ele vale - 4 3 :

δ 2 g 1,1 δ u δ v = - 3 . 8 + 4 . - 4 3 + 2 . 18

δ 2 g 1,1 δ u δ v = - 24 - 16 3 + 36

δ 2 g 1,1 δ u δ v = 20 3  

Resposta

a)

δ 2 g δ u δ v = δ 2 f δ u δ v = - 3 v 2 . δ 2 f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x δ x   . 2 u +   δ 2 f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ x δ y   . 4 u v + 4 u δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y + 2 u 2 . δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y δ x . 2 u + δ f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v δ y δ y . 4 u v

b) f 0,2 = - 4 3 ,   ∇ f 0,2 = - 2 3 , - 4 3 e   ∇ g 1,1 = - 20 3 , - 2 3

c)

  δ 2 g 1,1 δ u δ v = 20 3

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t