Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2015.1, questão 2

Seja f : R 2 → R 2 , u , v → f u , v . Sejam u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y . Considere a composta g x , y ≔ f u x , y , v x , y ; ∀ x , y ∈ R 2 .

Assuma:

g x 2 4 , 2 4 = a

g y 2 4 , 2 4 = b

Para a e ∈ R .

Calcule f u 0 , 1 4 e f v 0 , 1 4 em função de a e b .

Passo 1

Aqui a dica é a seguinte: o enunciado pediu pra assumir g x 2 4 , 2 4 e g y 2 4 , 2 4 como valores constantes. Isso, naturalmente, não foi por acaso! Vejamos, se colocamos o ponto 2 4 , 2 4 em u x , y , teremos:

u 2 4 , 2 4 = 2 4 2 - 2 4 2 = 0

E, colocando esse ponto em v x , y , teremos:

v x , y = 2 2 4 . 2 4 = 1 4

E, olha só! Colocando esse u e v em f , temos f 0 , 1 4 , que é exatamente o ponto no qual ele nos pede as derivadas :D Viu só? Isso parece “acaso”, mas nunca é XD

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já sabemos que todo x , y que aparecer na jogada vai ser esse ponto 2 4 , 2 4 para gerar o u , v = 0 , 1 4 , vamos apenas usar a regra da cadeia para calcular genericamente o valor dessas derivadas, e depois colocar os valores que tivermos em função de a e b !

Se desenvolvermos g x , simplesmente pela definição g x , y ≔ f u x , y , v x , y , pela regra da cadeia, teríamos:

g x = f u . u x + f v . v x

Colocando os pontos x , y e u , v , temos:

g x 2 4 , 2 4 = f u 0 , 1 4 . u x 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v x 2 4 , 2 4

Como g x 2 4 , 2 4 = a , então, temos:

a = f u 0 , 1 4 . u x 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v x 2 4 , 2 4

Beleza?

Passo 3

Agora, vamos desenvolver o g y , pela regra da cadeia:

g y = f u . u y + f v . v y

Colocando os pontos que queremos:

b = f u 0 , 1 4 . u y 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v y 2 4 , 2 4

Prontinho :D

Passo 4

Agora nos resta a pergunta: quanto valem u x 2 4 , 2 4 , u y 2 4 , 2 4 , v x 2 4 , 2 4 , v y 2 4 , 2 4 ? Isso nós podemos calcular, pois u e v nos foram dados!

Se u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y , então:

u x = 2 x

u y = - 2 y

v x = 2 y

v y = 2 x

Colocando o nosso ponto 2 4 , 2 4 , temos:

u x 2 4 , 2 4 = 2 2

u y 2 4 , 2 4 = - 2 2

v x 2 4 , 2 4 = 2 2

v y 2 4 , 2 4 = 2 2

Show!

Passo 5

Agora, voltamos nas equações de g x e g y com os valores das derivadas de u e v em relação a x e y :

a = f u 0 , 1 4 . u x 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v x 2 4 , 2 4

a = f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2

E, para o g y ,

b = f u 0 , 1 4 . u y 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v y 2 4 , 2 4

b = - f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2

E, agora, só precisamos resolver o sistema:

a = f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2 b = - f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2

Somando as duas equações, teremos:

2 f v = a + b

f v = a + b 2

Subtraindo a de baixo da de cima, temos:

2 f u = a - b

f u = a - b 2

E aí estão nossas derivadas :D

Resposta

f u = a - b 2 e f v = a + b 2

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