Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Considere f x ,   y = x sen ⁡ x + y + 2 y .

  1. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( - 1 ,   1 ,   2 ) .
  1. Considerando x = x ( r ,   s ) e y = y ( r ,   s ) funções de classe C 1 nas variáveis r e s tais que x 1 ,   2 = π 6 , y 1 ,   2 = π 3 , ∂ x ∂ r 1 ,   2 = - 2 e ∂ y ∂ r 1,2 = 3 , mostre que se g r ,   s = f ( x r ,   s ,   y r ,   s ) , então ∂ g ∂ r = 4 para r ,   s = 1 ,   2 .

Passo 1

Item b) primeiramente, como vamos mostrar aquilo? Bem... repare que esse exercício fala que f é uma função composta com x e y . Isso está com muita cara de que? Simmmm! Regra da cadeia! :)

g r ,   s = f ( x r ,   s ,   y r ,   s )

Derivando então essa função g ( r ,   s ) com relação a r pra obter aquele dado do problema, ganhamos

∂ g ( r ,   s ) ∂ r = ∂ f ∂ x   .   ∂ x ( r , s ) ∂ r + ∂ f ∂ y   .   ∂ y ( r ,   s ) ∂ r

No ponto r ,   s = ( 1 ,   2 )

∂ g ( 1 ,   2 ) ∂ r = ∂ f ∂ x   .   ∂ x ( 1 ,   2 ) ∂ r + ∂ f ∂ y   .   ∂ y ( 1 ,   2 ) ∂ r

Substituindo o que nos foi dado no enunciado do problema: ∂ x ∂ r 1 ,   2 = - 2 ; ∂ y ∂ r 1,2 = 3 ...

∂ g ( 1 ,   2 ) ∂ r = - 2 ∂ f ∂ x   + 3 ∂ f ∂ y  

Passo 2

Bem, mas quem são essas derivadas de f ? Basta derivar a função f do enunciado. :)

∂ f ∂ x = sen ⁡ x + y + x cos ⁡ ( x + y )

∂ f ∂ y = x cos ⁡ x + y + 2

Esses x e y nos foi dado em uma informação valiosa: x 1 ,   2 = π 6 e y 1 ,   2 = π 3 . Os substituindo nessas derivadas parciais

∂ f ∂ x = sen ⁡ π 6 + π 3 + π 6 cos ⁡ ( π 6 + π 3 )

∂ f ∂ x = sen ⁡ π 2 + π 6 cos ⁡ ( π 2 )

∂ f ∂ x = 1

E

∂ f ∂ y = π 6 cos ⁡ π 2 + 2

∂ f ∂ y = 2

Voltando para o problema

∂ g ( 1 ,   2 ) ∂ r = - 2 ∂ f ∂ x   + 3 ∂ f ∂ y

∂ g ( 1 ,   2 ) ∂ r = - 2 × 1   + 3 × 2 = 4

Resposta

∂ g ( 1 ,   2 ) ∂ r = - 2 × 1   + 3 × 2 = 4

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t