Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

  1. Dada a função

z = e x y sin ⁡ y

Tomando x = s + 2 t e y = s / t 3 podemos considerar a função z s , t .

Use a regra da cadeia para encontrar ∂ z / ∂ t 0,1 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos encontrar a derivada de z em relação a t no ponto 0,1 .

Mas repara que a função dada é dependente de x e y ,

z = e x y sin ⁡ y

O enunciado também nos disse que é x e y ,

x = s + 2 t

y = s / t 3

Substituindo x e y em z , ficamos com

z = e s + 2 t s t 3 sin ⁡ s t 3

Agora podemos derivar!

Passo 2

Temos a seguinte função,

z = e s + 2 t s t 3 sin ⁡ s t 3

z = e s 2 + 2 s t t 3 sin ⁡ s t 3

Derivando em relação a t , aplicando a regra da cadeia e do produto, ficamos com:

∂ z ∂ t = s 2 + 2 s t t 3 ' e s 2 + 2 s t t 3 sin ⁡ s t 3 + e s 2 + 2 s t t 3 s t 3 ' sin ⁡ ' s t 3

∂ z ∂ t = - 3 s 2 + 4 s t t 4 e s 2 + 2 s t t 3 sin ⁡ s t 3 + e s 2 + 2 s t t 3 - 3 s t 4 cos ⁡ s t 3

Ajeitando,

∂ z ∂ t = e s 2 + 2 s t t 3 t 4 - 3 s 2 + 4 s t sin ⁡ s t 3 + 3 s cos ⁡ s t 3

Agora vamos achar a derivada no ponto!

Passo 3

Substituindo 0,1 ,

∂ z ∂ t 0,1 = e 0 2 + 2 0 1 1 3 1 4 - 3 0 2 + 4 0 1 sin ⁡ 0 1 3 + 3 0 cos ⁡ 0 1 3

∂ z ∂ t 0,1 = e 0 2 + 2 0 1 1 3 1 4 - 0 + 0 sin ⁡ 0 + 0 . cos ⁡ 0 = e 0 0

∂ z ∂ t 0,1 = 0

Prontinho!

Resposta

∂ z ∂ t 0,1 = 0

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t