Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 8

Se

u = x m f y x , x z , z x

f diferenciável em R 3 , mostre que

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y + z ∂ u ∂ z = m u

Passo 1

Primeiro, vamos entender quem é u .

u é uma função que é o produto de x m com uma outra função f v , w , p onde

v = y x

w = x z

p = z x

Agora, para provar esse igualdade ai, precisamos encontrar as derivadas parciais de u .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando por ∂ u ∂ x :

Pela regra do produto, temos:

∂ u ∂ x = m x m - 1 f y x , x z , z x + x m . ∂ f ∂ x

Para calcular ∂ f ∂ x precisamos da regra da cadeia:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ v . ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ w . ∂ w ∂ x + ∂ f ∂ p . ∂ p ∂ x

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ v . - y x 2 + ∂ f ∂ w . 1 z + ∂ f ∂ p . - z x 2

Assim:

∂ u ∂ x = m x m - 1 f y x , x z , z x + x m . ∂ f ∂ v . - y x 2 + ∂ f ∂ w . 1 z + ∂ f ∂ p . - z x 2

Passo 3

Agora ∂ u ∂ y :

∂ u ∂ y = x m . ∂ f ∂ y

Usando a regra da cadeia para calcular ∂ f ∂ y :

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ v . ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ w . ∂ w ∂ y + ∂ f ∂ p . ∂ p ∂ y

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ v . 1 x + ∂ f ∂ w . ( 0 ) + ∂ f ∂ p . 0

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ v . 1 x

Assim:

∂ u ∂ y = x m . ∂ f ∂ v . 1 x

Passo 4

Agora ∂ u ∂ z :

∂ u ∂ z = x m . ∂ f ∂ z

Usando a regra da cadeia para calcular ∂ f ∂ z :

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ v . ∂ v ∂ z + ∂ f ∂ w . ∂ w ∂ z + ∂ f ∂ p . ∂ p ∂ z

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ v . ( 0 ) + ∂ f ∂ w . - x z 2 + ∂ f ∂ p . 1 x

Assim

∂ u ∂ z = x m . ∂ f ∂ w . - x z 2 + ∂ f ∂ p . 1 x

Passo 5

-

Vamos substituir nossos resultados nessa expressão agora:

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y + z ∂ u ∂ z

x . m x m - 1 f y x , x z , z x + x m . ∂ f ∂ v . - y x 2 + ∂ f ∂ w . 1 z + ∂ f ∂ p . - z x 2 + y . x m . ∂ f ∂ v . 1 x + z . x m . ∂ f ∂ w . - x z 2 + ∂ f ∂ p . 1 x

Temos

m x m f y x , x z , z x + x m + 1 ∙ ∂ f ∂ v . - y x 2 + ∂ f ∂ w . 1 z + ∂ f ∂ p . - z x 2 + y x m ∙ ∂ f ∂ v . 1 x +

+ z x m ∙ ∂ f ∂ w . - x z 2 + ∂ f ∂ p . 1 x

m x m f y x , x z , z x - y x m - 1 ∙ ∂ f ∂ v + x m + 1 z ∙ ∂ f ∂ w - z x m - 1 ∙ ∂ f ∂ p + y x m - 1 ∙ ∂ f ∂ v - x m + 1 z ∙ ∂ f ∂ w + z x m - 1 ∙ ∂ f ∂ p

Agrupando os termos temos:

m u + ∂ f ∂ v ∙ - y x m - 1 + y x m - 1 + ∂ f ∂ w ∙ x m + 1 z - x m + 1 z + ∂ f ∂ p ∙ - z x m - 1 + z x m - 1 = m u

Assim,

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y + z ∂ u ∂ z = m u

Como queríamos demonstrar. UFA!

Questãozinha chata, né? rs

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