Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Se h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , onde f ( x ,   y ) , x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v . Aplique para cada caso abaixo:

c) f x ,   y = 1 - 4 x 2 + 9 y 2 onde x u ,   v = 2 u cos ⁡ v e y u ,   v = 3 u sin ⁡ v .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais da função h em relação a u e v , ou seja, vamos calcular ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v , respectivamente.

Pra isso, nós temos f ( x ,   y ) , que é igual a h , só que x e y são funções de duas outras variáveis u e v : x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) . Então, h é indiretamente uma função de u e v .

Sendo assim, para calcular ∂ h ∂ u mantemos v fixo e calculamos a derivada ordinária de h em relação a u . E da mesma forma, mantendo u fixo, calculamos a derivada ordinária de h em relação a v para obter ∂ h ∂ v . Então, vamos usar a regra da cadeia na forma:

∂ h ∂ u = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ u  

∂ h ∂ v = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ v  

Vamos lá!

Passo 2

Galera, nós temos h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , então consideramos h igual a f ( x ,   y ) , que é dada por:

h = f x ,   y = 1 - 4 x 2 + 9 y 2

Então, derivando f parcialmente em relação a x , temos:

∂ h ∂ x = - 8 x

E derivando em relação a y :

∂ h ∂ y = 18 y

Passo 3

Agora nós temos x u ,   v = 2 u cos ⁡ v e y u ,   v = 3 u sin ⁡ v . Assim, derivando x em relação a u (usando a regra do produto), vamos ter:

∂ x ∂ u = 2 cos ⁡ v

E em relação a v , também usando a regra do produto, temos:

∂ x ∂ v = - 2 u sin ⁡ v

Agora derivando y em relação a u , vamos ter:

∂ y ∂ u = 3 sin ⁡ v

E em relação a v :

∂ y ∂ v = 3 u cos ⁡ v

Passo 4

Agora vamos juntar esses resultado, de acordo com a fórmula da regra da cadeia que vimos no passo 1 , para obter:

∂ h ∂ u = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ u  

∂ h ∂ u = - 8 x 2 cos ⁡ v + ( 18 y ) ( 3 sin ⁡ v )

∂ h ∂ u = - 16 x cos ⁡ v + 54 y sin ⁡ v

E por fim, temos a derivada de h em relação a v na forma:

∂ h ∂ v = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ v  

∂ h ∂ v = - 8 x - 2 u sin ⁡ v + ( 18 y ) ( 3 u cos ⁡ v )

∂ h ∂ v = 16 x u sin ⁡ v + 54 y u cos ⁡ v

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ h ∂ u = - 16 x cos ⁡ v + 54 y sin ⁡ v

∂ h ∂ v = 16 x u sin ⁡ v + 54 y u cos ⁡ v

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