Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Mostre que

  1. Se g x , y = f r , onde r x , y = x 2 + y 2 , então,

x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y = 2 r f ' r

Passo 1

  1. Vamos começar calculando as derivadas parciais de g . Temos:

∂ g ∂ x = d f d r ∂ r ∂ x = f ' .   2 x

∂ g ∂ y = d f d r ∂ r ∂ y = f ' .   2 y

Passo 2

-

Logo:

x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y = x f ' .   2 x + y f ' .   2 y =

2 x 2 f ' + 2 y 2 f ' = 2 f ' x 2 + y 2

Então, provamos que

x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y = 2 r f ' r  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t