Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja z = f x , y e

g x , y = ∂ 2 z ∂ u 2 x , y + ∂ 2 z ∂ u ∂ v x , y

definidas para 0 ≤ x ≤ 1 e y ≥ 0 . Sabe-se que:

i )   y ∂ z ∂ y x , y + y ∂ 2 z ∂ y 2 x , y = 2                   i i )   x v = sin 2 ⁡ v       e       y u = e u

  1. Determine a expressão de g ( x , y ) em função de x ,   y e as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de z em relação às variáveis x e y .
  2. Determine g ( 1,50 ) .

Passo 1

Fala, galerinha! Desenvolvendo as derivadas de z em relação a u e v ´poderemos construir g ( x , y ) . Assim, as de primeira ordem ficam:

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u ⇒ ∂ z ∂ u = ∂ z ∂ y   e u

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v = ∂ z ∂ x ⋅ 2 sin ⁡ v cos ⁡ v ⇒ ∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x sin ⁡ 2 v

Já para as derivadas de segunda ordem de interesse:

∂ 2 z ∂ u 2 = ∂ ∂ u ∂ z ∂ y   e u + ∂ z ∂ y   ∂ ∂ u e u

= ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ ∂ y ∂ u e u + ∂ z ∂ y e u

= ∂ 2 z ∂ y 2 e 2 u + ∂ z ∂ y e u

= ∂ 2 z ∂ y 2 y 2 + ∂ z ∂ y y

= 2

Segundo a expressão ( i ) . E ainda,

∂ 2 z ∂ u ∂ v = ∂ ∂ u ∂ z ∂ x sin ⁡ 2 v =

= ∂ 2 z ∂ y ∂ x ⋅ ∂ y ∂ u   sin ⁡ 2 v = ∂ 2 z ∂ y ∂ x e u   sin ⁡ 2 v

= ∂ 2 z ∂ y ∂ x y 2 sin ⁡ v cos ⁡ v

Como 0 ≤ x = sin 2 ⁡ v ≤ 1 , a fim de que haja uma relação biunívoca entre x e v , fixemos: v ∈ [ 0 , π / 2 ] . Assim, seno e cosseno são não-negativos tal que:

∂ 2 z ∂ u ∂ v = ∂ 2 z ∂ y ∂ x y 2 sin 2 ⁡ v cos 2 ⁡ v

= ∂ 2 z ∂ y ∂ x y 2 sin 2 ⁡ v 1 - sin 2 ⁡ v = 2 y ∂ 2 z ∂ y ∂ x x 1 - x

= 2 y ∂ 2 z ∂ y ∂ x x - x 2

Em suma, g é dada por:

g x , y = ∂ 2 z ∂ u 2 x , y + ∂ 2 z ∂ u ∂ v x , y

= 2 + 2 y ∂ 2 z ∂ y ∂ x x - x 2

Passo 2

Para a letra ( b ) , observe que:

g 1,50 = 2 + 100 ∂ 2 z ∂ y ∂ x 1 - 1 2 = 2

Resposta

  1. g x , y = 2 + 2 y ∂ 2 z ∂ y ∂ x x - x 2
  1. g 1,50 = 2

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t