Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Use a Regra da Cadeia para obter f ' ( t ) em termos apenas de t quando f x , y , t = x 2 + y e 3 t , x t = ln ⁡ t , y t = s e n ( t ) .

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos essa questão, vamos ter que usar a Regra da cadeia, mas antes precisamos substituir os valores de x t   e   y ( t ) na função f dada:

f x , y , t = x 2 + y e 3 t

x t = ln ⁡ t

y t = s e n ( t )

Substituindo:

f t = ( ln ⁡ t ) 2 + s e n ( t ) e 3 t

Show, com isso, vamos trabalhar em cima da nossa última função.

Passo 2

Vamos começar a calcular:

f t = ( ln ⁡ t ) 2 + s e n ( t ) e 3 t

f ' ( t ) = 2 ln ⁡ t × 1 t + ( e 3 t × cos ⁡ t + 3 s e n t e 3 t )

f ' ( t ) = 2 ln ⁡ t t + e 3 t cos ⁡ t + 3 s e n t

Show, nos vemos no próximo exercício.

Resposta

f ' ( t ) = 2 ln ⁡ t t + e 3 t cos ⁡ t + 3 s e n t

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t