Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja z = 4 e x ln ⁡ y ,onde

x = ln ⁡ u cos ⁡ v               e               y = u   s e n   v

Calcule ∂ z ∂ v quando u = 2 e v = π 4 .

  1. 4 2 1 - ln ⁡ 2
  2. - 4 2 1 + ln ⁡ 2
  3. 4 2 1 + ln ⁡ 2
  4. 2 1 + ln ⁡ 2
  5. nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Vamos começar fazendo

r u , v = ln ⁡ u cos ⁡ v , u   s e n   v

Ele quer

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4

Que é a derivada de z em relação a v nos valores u = 2 , v = π / 4

Vamos ter

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4 = ∇ z r 2 , π / 4 ∙ ∂ ∂ v r 2 , π / 4

Vamos começar calculando r 2 , π / 4

r 2 , π / 4 = ln ⁡ 2 cos ⁡ π / 4 , 2   s e n   π / 4

r 2 , π / 4 = ln ⁡ 2 2 2 , 2 2 2

r 2 , π / 4 = ln ⁡ 2 , 2

Que é o ponto que ele fala no enunciado.

Passo 2

O gradiente fica

∇ z x , y = 4 e x ln ⁡ y , 4 e x y

Queremos

∇ z r 2 , π / 4 = ∇ z ln ⁡ 2 , 2 = 4 e ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 , 4 e ln ⁡ 2 2

∇ z r 2 , π / 4 = 4 2 ln ⁡ 2 , 4 2 2 = 4 2 ln ⁡ 2 , 4

Passo 3

Vamos agora achar a derivada da parametrização

∂ ∂ v r u , v = - u sen ⁡ v u cos ⁡ v , u cos ⁡ v = - tan ⁡ v , u cos ⁡ v

Substituindo os valores de v e u

∂ ∂ v r 2 , π / 4 = - tan ⁡ π / 4 , 2 cos ⁡ π / 4

∂ ∂ v r 2 , π / 4 = - 1,2 2 2 = - 1 , 2

Passo 4

A derivada então fica

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4 = ∇ z r 2 , π / 4 ∙ ∂ ∂ v r 2 , π / 4

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4 = 4 2 ln ⁡ 2 , 4 ∙ - 1 , 2

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4 = - 4 2 ln ⁡ 2 + 4 2

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4 = 4 2 1 - ln ⁡ 2

Resposta

Alternativa (a)

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t