Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável em todos os pontos de R 2 e

g u , v = f u + cos ⁡ v , sen ⁡ u + v

Considere a seguinte tabela de valores:

Quanto valem g u ( 0,0 ) e g v ( 0,0 ) , respectivamente?

  1. 5   e   3
  2. 3   e - 2
  3. 5   e   1
  4. 2   e - 1
  5. - 1   e   2

Passo 1

Temos

g u , v = f u + cos ⁡ v , sen ⁡ u + v

Então

x u , v = u + cos ⁡ v

y u , v = sen ⁡ u + v

Para achar essas derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia:

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Passo 2

Vamos começar então calculando as derivadas parciais de x e de y que é a única coisa que vamos conseguir calcular. O resto teremos que olhar na tabela.

As derivadas parciais de x são:

∂ x ∂ u = 1

∂ x ∂ v = - sen ⁡ v

E as derivadas parciais de y são:

∂ y ∂ u = cos ⁡ u

∂ y ∂ v = 1

Substituindo no ponto ( 0,0 ) , temos

∂ x ∂ u ( 0,0 ) = 1

∂ x ∂ v ( 0,0 ) = 0

∂ y ∂ u ( 0,0 ) = 1

∂ y ∂ v ( 0,0 ) = 1

Passo 3

Agora é só substituir na fórmula da regra da cadeia. Mas fica ligado que f é função de x , y e quando u , v = ( 0,0 ) , x , y = ( 1,0 )

∂ g ∂ u ( 0,0 ) = ∂ f ∂ x ( 1,0 ) ∂ x ∂ u ( 0,0 ) + ∂ f ∂ y ( 1,0 ) ∂ y ∂ u ( 0,0 )

∂ g ∂ v ( 0,0 ) = ∂ f ∂ x ( 1,0 ) ∂ x ∂ v ( 0,0 ) + ∂ f ∂ y ( 1,0 ) ∂ y ∂ v ( 0,0 )

Substituindo os valores que encontramos no passo 2 e os valores da tabela:

∂ g ∂ u 0,0 = - 3.1 + 2.1 = - 1

∂ g ∂ v 0,0 = - 3.0 + 2.1 = 2

Resposta

L e t r a   e

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t