Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Se h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , onde f ( x ,   y ) , x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais da função h em relação a u e v , ou seja, vamos calcular ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v , respectivamente.

Pra isso, nós temos f ( x ,   y ) , que é igual a h , só que x e y são funções de duas outras variáveis u e v : x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) . Então, h é indiretamente uma função de u e v .

Sendo assim, para calcular ∂ h ∂ u mantemos v fixo e calculamos a derivada ordinária de h em relação a u . E da mesma forma, mantendo u fixo, calculamos a derivada ordinária de h em relação a v para obter ∂ h ∂ v .

Vamos lá!

Passo 2

Como vimos no passo anterior, vamos calcular a derivada de h em relação a u na forma:

∂ h ∂ u = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ u  

E da mesma forma, calculando a derivada de h em relação v , vamos ter:

∂ h ∂ v = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ v  

Repare que essas expressões definem um dos casos da Regra da Cadeia e podem ser aplicadas a outras funções.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ h ∂ u = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ u  

∂ h ∂ v = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ v  

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t