Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2011.1, 2

Seja z = x s e n x y .

  1. Verifique que x ∂ z ∂ x x , y + y ∂ z ∂ y x , y = z
  2. Se x t = cos ⁡ t + 2 s e y t = s e n t - 2 s , calcule ∂ z ∂ t e ∂ z ∂ s .

Passo 1

  1. Calculando as derivadas parciais temos:
  2. ∂ z ∂ x x , y = s e n x y + x y cos ⁡ x y

    ∂ z ∂ y x , y = - x y 2 2 c o s x y

    Substiuindo na equação:  

    x ∂ z ∂ x x , y + y ∂ z ∂ y x , y = z

    x s e n x y + x y cos ⁡ x y + y - x 2 y 2 c o s x y = z

    x s e n x y + x 2 y cos ⁡ x y - x 2 y cos ⁡ x y = z

    Portanto, a equação é verdadeira.

    Passo 2

  3. Pela regra da cadeia :

∂ z ∂ t t , s = ∂ z ∂ x x , y ∂ x ∂ t t , s + ∂ z ∂ y x , y ∂ y ∂ t t , s

E

∂ z ∂ s t , s = ∂ z ∂ x x , y ∂ x ∂ s t , s + ∂ f ∂ y x , y ∂ y ∂ s t , s

Já vimos que

∂ z ∂ x x , y = s e n x y + x y cos ⁡ x y

∂ z ∂ y x , y = - x y 2 2 c o s x y

Calculando:

∂ x ∂ t t , s = - s e n t + 2 s

∂ x ∂ s t , s = - 2 s e n t + 2 s

∂ y ∂ t t , s = cos ⁡ t - 2 s

∂ y ∂ s t , s = - 2 cos ⁡ t - 2 s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo:

∂ z ∂ t t , s = ∂ z ∂ x x , y ∂ x ∂ t t , s + ∂ z ∂ y x , y ∂ y ∂ t t , s

∂ z ∂ t t , s = s e n x y + x y cos ⁡ x y - s e n t + 2 s + - x y 2 2 c o s x y cos ⁡ t - 2 s

Lembrando que:

x t = cos ⁡ t + 2 s e y t = s e n t - 2 s

Vamos ter:

∂ z ∂ t t , s =

s e n cos ⁡ t + 2 s s e n t - 2 s + cos ⁡ t + 2 s s e n t - 2 s cos ⁡ cos ⁡ t + 2 s s e n t - 2 s - s e n t + 2 s + - cos ⁡ t + 2 s s e n t - 2 s 2 2 c o s cos ⁡ t + 2 s s e n t - 2 s cos ⁡ t - 2 s

Passo 3

Ainda falta:

∂ z ∂ s t , s = ∂ z ∂ x x , y ∂ x ∂ s t , s + ∂ z ∂ y x , y ∂ y ∂ s t , s

Substituindo:

∂ z ∂ s t , s = s e n x y + x y cos ⁡ x y - 2 s e n t + 2 s + - x y 2 2 c o s x y - 2 cos ⁡ t - 2 s

Lembrando que:

x t = cos ⁡ t + 2 s e y t = s e n t - 2 s

Vamos ter:

∂ z ∂ s x , y =

s e n cos ⁡ t + 2 s   s e n t - 2 s + cos ⁡ t + 2 s   s e n t - 2 s cos ⁡ cos ⁡ t + 2 s   s e n t - 2 s - 2 s e n t + 2 s + - cos ⁡ t + 2 s   s e n t - 2 s 2 2 c o s cos ⁡ t + 2 s   s e n t - 2 s - 2 cos ⁡ t - 2 s

Resposta

a) x ∂ z ∂ x x , y + y ∂ z ∂ y x , y = z é verdadeira

b) ∂ z ∂ t t , s =

s e n cos ⁡ t + 2 s s e n t - 2 s + cos ⁡ t + 2 s s e n t - 2 s cos ⁡ cos ⁡ t + 2 s s e n t - 2 s - s e n t + 2 s + - cos ⁡ t + 2 s s e n t - 2 s 2 2 c o s cos ⁡ t + 2 s s e n t - 2 s cos ⁡ t - 2 s

∂ z ∂ s x , y =

s e n cos ⁡ t + 2 s   s e n t - 2 s + cos ⁡ t + 2 s   s e n t - 2 s cos ⁡ cos ⁡ t + 2 s   s e n t - 2 s - 2 s e n t + 2 s + - cos ⁡ t + 2 s   s e n t - 2 s 2 2 c o s cos ⁡ t + 2 s   s e n t - 2 s - 2 cos ⁡ t - 2 s

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