Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2013.2, Questão 4b

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Para F : R 3 → R definida por

F x , y , z = ln ⁡ x 2 y + g cos ⁡ x + h x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x

Onde

g : R → R   x → g x

É uma função de classe C 2 e

h : R 2 → R   u , v → h u , v

É uma função de classe C 2 , tem-se que

∂ F ∂ x x , y , z = 2 x + g ' cos ⁡ x + ∂ h ∂ u x 3 + 3 y z , z sen ⁡ x 3 x 2 z + ∂ h ∂ v x 3 + 3 y z , z sen ⁡ x z cos ⁡ x

Passo 1

Para ver se essa parada é verdadeira temos que fazer a derivada. Vamos fazer a derivada de F em relação a x em cada parcela da soma para ver se aparece ali.

Começando com

∂ ∂ x ln ⁡ x 2 y = 1 x 2 y 2 x y = 2 x y x 2 y = 2 x

Beleza está ali no resultado final, aqui nos usamos a regra da cadeia.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer a derivada de

∂ ∂ x g cos ⁡ x = g ' cos ⁡ x . sen ⁡ x

Opa, aí já nos mostrou que essa bagaça é falsa, está faltando o seno no resposta que ele deu.

Se você calcular a derivada em relação a x de h x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x vai ver que vai dar o que aparece ali, mas não importa está errado de qualquer forma pelo termo faltando seno.

Resposta

Falso

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