Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Considere a função

f x , y = x y e x y

Considere as funções reais x ( u , v ) e y ( u , v ) satisfazendo

x 0,0 = 1

y 0,0 = 0

x u 0,0 = - 1

y u 0,0 = 2

Considere a composta

g u , v = f x u , v , y u , v

Calcule g u ( 0,0 ) .

Passo 1

Ok, temos uma função composta e queremos calcular a derivada parcial. O que que isso te lembra? Regra da Cadeia, né?!

Pois bem, a regra da cadeia nos diz que

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

Substituindo no ponto ( 0,0 ) , temos

∂ g ∂ u ( 0,0 ) = ∂ f ∂ x x 0,0 , y 0,0 ∂ x ∂ u ( 0,0 ) + ∂ f ∂ y x 0,0 , y 0,0 ∂ y ∂ u ( 0,0 )

Passo 2

Vamos então substituir os dados que já temos e ver o que ainda falta pra calcular.

∂ g ∂ u 0,0 = ∂ f ∂ x 1,0 . - 1 + ∂ f ∂ y 1,0 . ( 2 )

Ótimo, só temos que calcular f x ( 1,0 ) e f y ( 1,0 ) .

f x , y = x y e x y

Pela regra do produto e da cadeia:

f x = y e x y + x y e x y . y = y e x y 1 + x y

f y = x e x y + x y e x y . x = x e x y 1 + x y

Passo 3

Substituindo no ponto ( 1,0 )

f x 1,0 = 0 . e 1.0 1 + 1.0 = 0

f y 1,0 = 1 . e 1.0 1 + 1.0 = 1

Só nos resta então substituir tudo em

∂ g ∂ u 0,0 = ∂ f ∂ x 1,0 . - 1 + ∂ f ∂ y 1,0 . ( 2 )

Assim

∂ g ∂ u 0,0 = ( 0 ) . - 1 + ( 1 ) . ( 2 )

∂ g ∂ u 0,0 = 2

Resposta

∂ g ∂ u 0,0 = 2

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .