Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFPE, Calculo 2, PF - 2017.1, Questão 2b

Considere f x ,   y = x sen x + y + 2 y .

  1. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( - 1 ,   1 ,   2 ) .
  1. Considerando x = x ( r ,   s ) e y = y ( r ,   s ) funções de classe C 1 nas variáveis r e s tais que x 1 ,   2 = π 6 , y 1 ,   2 = π 3 , x r 1 ,   2 = - 2 e y r 1,2 = 3 , mostre que se g r ,   s = f ( x r ,   s ,   y r ,   s ) , então g r = 4 para r ,   s = 1 ,   2 .

Passo 1

Item b) primeiramente, como vamos mostrar aquilo? Bem... repare que esse exercício fala que f é uma função composta com x e y . Isso está com muita cara de que? Simmmm! Regra da cadeia! :)

g r ,   s = f ( x r ,   s ,   y r ,   s )

Derivando então essa função g ( r ,   s ) com relação a r pra obter aquele dado do problema, ganhamos

g ( r ,   s ) r = f x   .   x ( r , s ) r + f y   .   y ( r ,   s ) r

No ponto r ,   s = ( 1 ,   2 )

g ( 1 ,   2 ) r = f x   .   x ( 1 ,   2 ) r + f y   .   y ( 1 ,   2 ) r

Substituindo o que nos foi dado no enunciado do problema: x r 1 ,   2 = - 2 ; y r 1,2 = 3 ...

g ( 1 ,   2 ) r = - 2 f x   + 3 f y  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, mas quem são essas derivadas de f ? Basta derivar a função f do enunciado. :)

f x = sen x + y + x cos ( x + y )

f y = x cos x + y + 2

Esses x e y nos foi dado em uma informação valiosa: x 1 ,   2 = π 6 e y 1 ,   2 = π 3 . Os substituindo nessas derivadas parciais

f x = sen π 6 + π 3 + π 6 cos ( π 6 + π 3 )

f x = sen π 2 + π 6 cos ( π 2 )

f x = 1

E

f y = π 6 cos π 2 + 2

f y = 2

Voltando para o problema

g ( 1 ,   2 ) r = - 2 f x   + 3 f y

g ( 1 ,   2 ) r = - 2 × 1   + 3 × 2 = 4

Resposta

g ( 1 ,   2 ) r = - 2 × 1   + 3 × 2 = 4

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