Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2017.1, Questão 3

Considere o elipsoide

x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

  1. Numa vizinhança de x , y , z = 1 , 3 2 ,   2 2 , suponha que conseguimos descrever o elipsoide como o gráfico de uma função diferenciável, isto é, escrever z = f ( x , y ) .
  2. Determine z x e z y para x , y , z = 1 , 3 2 ,   2 2 .

  3. Nas mesmas condições do item anterior, considere x = 1 + r cos θ e y = 3 2 + r sen θ . Determine z r e z θ para r , θ = 0 , π 6 .

Passo 1

a )

Ele deu uma enrolada e tal, mas o que ele ta querendo dizer pra gente é que z pode ser definido implicitamente como função de x , y pela equação do elipsoide nas vizinhanças de x , y , z = 1 , 3 2 ,   2 2 .

Então, vamos derivar implicitamente a equação do elipsoide.

Primeiro, em relação a x :

2 x 4 + 2 z 16 z x = 0

z x = 16 2 z - x 2

Agora em relação a y :

2 y 9 + 2 z 16 z y = 0

z y = 16 2 z - 2 y 9

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No ponto 1 , 3 2 ,   2 2 temos:

z x = 16 2.2 2 - 1 2

z x = - 2 2

E

z y = 16 2.2 2 - 2 3 2 9

z y = - 4 3 2

Passo 3

b )

Agora, a nossa função z = f ( x , y ) passou a ser uma função composta. Assim, para derivar, vamos usar a regra da cadeia:

z r = z x x r + z y y r

E

z θ = z x x θ + z y y θ

As derivadas parciais de z nós já calculamos na letra a . Falta só as derivadas parciais de x e de y .

Passo 4

Vamos fazer isso então.

As derivadas parciais de x são:

x = 1 + r cos θ

x r = cos θ

x θ = - r sen θ

E as derivadas parciais de y são:

y = 3 2 + r sen θ

y r = sen θ

y θ = r cos θ

Passo 5

O problema quer que a gente calcule as z r e z θ quando r , θ = 0 , π 6 .

Então, precisamos saber quanto vale ( x , y ) quando r , θ = 0 , π 6 ?

x = 1 + r cos θ = 1 + 0 cos π 6 = 1

y = 3 2 + r sen θ = 3 2 + 0 sen π 6 = 3 2

Ufa, ainda bem né? Porque aí já temos as derivads parciais de z calculadas nesse ponto.

Enfim, substituindo tudo então, a regra da cadeia fica:

z r = - 2 2 cos θ - 4 3 2 sen θ = - 2 2 cos π 6 - 4 3 2 sen π 6 = - 3 3 + 2 3 2

E

z θ = - 2 2 - r sen θ - 4 3 2 r cos θ = - 2 2 - 0 sen π 6 - 4 3 2 0 cos π 6 = 0

Resposta

  1. z x = - 2 2

    z y = - 4 3 2

z r = - 3 3 + 2 3 2

z θ = 0

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