Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Considere uma função de três variáveis z = f ( x , y , z ) .

Seja z = sen ⁡ ( x y ) + x . sen ⁡ ( y )

Encontre ∂ z ∂ u quando u = 0 ; v = 1 ; x = u 2 + v 2 e y = u . v

  1. 1
  2. - 2
  3. 0
  4. 2
  5. - 1

Passo 1

A situação é a seguinte: temos uma função z que depende de x e y :

z = z ( x , y )

Mas x e y também são funções que dependem de u e v :

x = x ( u , v )

y = y ( u , v )

Então, pela regra da cadeia, a derivada de z em relação a u fica assim:

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x . ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y . ∂ y ∂ u

Ok, temos quatro derivadas para calcular então.

Passo 2

Começamos pelas derivadas de z :

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ x y + x . sen ⁡ y = y . cos ⁡ x y + s e n ⁡ ( y )

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y sen ⁡ x y + x . sen ⁡ y = x . cos ⁡ x y + x . c o s ⁡ ( y )

Passo 3

E depois as derivadas de x e y :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u u 2 + v 2 = 2 u

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u u v = v

Passo 4

Beleza, agora vamos substituir nossos resultados na fórmula da derivada:

∂ z ∂ u = y . cos ⁡ x y + s e n ⁡ ( y ) . 2 u + x . cos ⁡ x y + x . c o s ⁡ ( y ) . v

Quando u = 0 e v = 1 , sabemos que:

x = u 2 + v 2 = 1

y = u v = 0

Substituindo esses valores, além do u e do v , obtemos o seguinte:

∂ z ∂ u = 0 . cos ⁡ 0 ( 1 ) + s e n ⁡ ( 0 ) . 2 ( 0 ) + 1 . cos ⁡ 1 0 + 1 . cos ⁡ 0 . ( 1 )

O primeiro parênteses está multiplicado por zero, então resta:

∂ z ∂ u = cos ⁡ 0 + cos ⁡ 0 . 1 = 2

Pronto!

Resposta

Letra (d).

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t