Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 7

Considere uma função de três variáveis z = f ( x , y , z ) .

Seja z = sen ( x y ) + x . sen ( y )

Encontre z u quando u = 0 ; v = 1 ; x = u 2 + v 2 e y = u . v

  1. 1
  2. - 2
  3. 0
  4. 2
  5. - 1

Passo 1

A situação é a seguinte: temos uma função z que depende de x e y :

z = z ( x , y )

Mas x e y também são funções que dependem de u e v :

x = x ( u , v )

y = y ( u , v )

Então, pela regra da cadeia, a derivada de z em relação a u fica assim:

z u = z x . x u + z y . y u

Ok, temos quatro derivadas para calcular então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começamos pelas derivadas de z :

z x = x sen x y + x . sen y = y . cos x y + s e n ( y )

z y = y sen x y + x . sen y = x . cos x y + x . c o s ( y )

Passo 3

E depois as derivadas de x e y :

x u = u u 2 + v 2 = 2 u

y u = u u v = v

Passo 4

Beleza, agora vamos substituir nossos resultados na fórmula da derivada:

z u = y . cos x y + s e n ( y ) . 2 u + x . cos x y + x . c o s ( y ) . v

Quando u = 0 e v = 1 , sabemos que:

x = u 2 + v 2 = 1

y = u v = 0

Substituindo esses valores, além do u e do v , obtemos o seguinte:

z u = 0 . cos 0 ( 1 ) + s e n ( 0 ) . 2 ( 0 ) + 1 . cos 1 0 + 1 . cos 0 . ( 1 )

O primeiro parênteses está multiplicado por zero, então resta:

z u = cos 0 + cos 0 . 1 = 2

Pronto!

Resposta

Letra (d).

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