Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2012.1, Questão 4a

Considere a função

u = u x , y , z = x 2 - y z

Em que

x = x p , r , θ = p r sen θ

y = y p , r , θ = p r cos θ

z = z p , r , θ = p - 2 r

Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas parciais u p ,   u r e u θ , para p = 3 , r = 2 e θ = 0 .

Passo 1

Vamos primeiro descobrir qual o x ,   y   e z correspondentes a p , r , θ = 3,2 , 0 :

x = x p , r , θ = p r sen θ     x 3,2 , 0 = 0

y = y p , r , θ = p r cos θ     y 3,2 , 0 = 6

z = z p , r , θ = p - 2 r z 3,2 , 0 = - 1

Então, temos que x , y , z = ( 0,6 , - 1 ) quando p , r , θ = 3,2 , 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos calcular o gradiente de u , x , y e z e no final a gente substitui os pontos.

Começando pelo gradiente de u :

u x , y , z = x 2 - y z

u x , y , z = u x , u y , u z = ( 2 x , - z , - y )

Passo 3

Agora o gradiente de x :

x p , r , θ = p r sen θ

x p , r , θ = x p , x r , x θ = r sen θ , p sen θ , p r cos θ

Passo 4

Agora o gradiente de y :

y p , r , θ = p r cos θ

y p , r , θ = y p , y r , y θ = r cos θ , p cos θ , - p r sen θ

Passo 5

E, o gradiente de z :

z p , r , θ = p - 2 r

z p , r , θ = z p , z r , z θ = ( 1 , - 2 , 0 )

Passo 6

Agora vamos substituir na fórmula e, depois, nos pontos correspondentes:

Para a derivada em relação a p :

u p = u x x p + u y y p + u z z p

u p = 2 x r sen θ - z r cos θ - y ( 1 )

u p ( 0,6 , - 1 ) = u x ( 0,6 , - 1 ) x p ( 3,2 , 0 ) + u y ( 0,6 , - 1 ) y p ( 3,2 , 0 ) + u z ( 0,6 , - 1 ) z p ( 3,2 , 0 )

u p 0,6 , - 1 = 2.0 2 sen 0 + 1 2 cos 0 - 6 1 = - 4

Passo 7

Para a derivada em relação a r :

u r = u x x r + u y y r + u z z r

u r = 2 x p sen θ - z p cos θ - y - 2

u r ( 0,6 , - 1 ) = u x ( 0,6 , - 1 ) x r ( 3,2 , 0 ) + u y ( 0,6 , - 1 ) y r ( 3,2 , 0 ) + u z ( 0,6 , - 1 ) z r ( 3,2 , 0 )

u r = 2.0 3 sen 0 + 1 3 cos 0 - 6 - 2 = 15

Passo 8

E, finalmente (!!!), para a derivada em relação a θ :

u θ = u x x θ + u y y θ + u z z θ

u θ = 2 x p r cos θ - z - p r sen θ - y 0

u θ ( 0,6 , - 1 ) = u x ( 0,6 , - 1 ) x θ ( 3,2 , 0 ) + u y ( 0,6 , - 1 ) y θ ( 3,2 , 0 ) + u z ( 0,6 , - 1 ) z θ ( 3,2 , 0 )

u θ = 2.0 3.2 cos 0 + 1 - 3.2 sen 0 - 6 0 = 0

Resposta

u p = - 4

u r = 15

u θ = 0

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas