Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 6, Questão 11

Considere as funções f , g e h tais que f x , y = x y , x 2 + y , x - y , g u , v , w = 2 w ln u v e h s R . Seja H x , y = h g f x , y , h derivável em R .

  1. Para ser possível calcular H x 1,3 , para que valor de s é preciso conhecer h ' s ?
  2. Supondo que para o valor de s do item anterior, h ' s = 5 , calcule H x 1,3 .

Passo 1

a )

Essa função aí é uma zona só. A nossa função é

H x , y = h s

Onde vamos ter s =   g f x , y

Para derivar H em relação a x temos que usar a regra da cadeia, como é uma função de uma variável vai ficar

H x = h ' s . s x

O valor de s só entra em h ' s então não vamos nos preocupar por enquanto em s x , temos primeiro que saber

s =   g f x , y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro precisamos de f 1,3

f 1,3 = 1.3 , 1 2 + 3,1 - 3 = 3,4 , - 2

Agora precisamos achar

g 3,4 , - 2 = 2 - 2 ln 4.3 = - 4 ln 12

Vamos ter então

s = - 4 ln 12

Passo 3

b )

Lembrando que a derivada vai ser

H x = h ' s . s x

Já temos h ' s , precisamos achar s x , vulgo g x que vamos usar a regra da cadeia.

Primeiro fazemos o vetor gradiente de g

g = g u , g v , g w = 2 w v u v , 2 w u u v , 2 ln u v = 2 w u , 2 w v , 2 ln u v

Agora temos que achar o gradiente na parametrização, no caso de x = 1 e y = 3 vimos que

u , v , w = 3,4 , - 2

Então

g 3,4 , - 2 = 2 - 2 3 , 2 - 2 4 , 2 ln 3.4 = - 4 3 , - 1,2 ln 12

Passo 4

Temos que achar f x agora, lembra como faz?

Lembrando que

u = x y

v = x 2 + y

w = x - y

Ou seja f x , y é a parametrização com duas variáveis. Então

f x = u x , v x , w x = y , 2 x , 1

Agora fazemos f x no ponto 1,3

f x 1,3 = 3,2 , 1

Passo 5

Vamos ter

g x = 3,2 , 1 - 4 3 , - 1,2 ln 12 = - 4 - 2 + 2 ln 12 = - 6 + 2 ln 12

Passo 6

A derivada que queremos é

H x = h ' s . s x

Já achamos s x e temos h ' s então

H x = 5 . - 6 + 2 ln 12 = - 30 + 10 ln 12

Resposta

- 30 + 10 ln 12

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