Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

USP, Cálculo 2, P2 - 2010, Questão 3

Dada uma função f x , y de classe C 2 , defina g r , θ = r 2 f r cos θ ,   r sin θ .

a) Expresse g r r r , θ em termos das derivadas parciais de f .

b) Sabendo que f 0,0 = 1 , determine g r r 0 , θ para um valor arbitrário de θ .

Passo 1

a) Vamos lá, essa é regra da cadeia pesada!

Se a nossa função é

g r , θ = r 2 f r cos θ ,   r sin θ

Então, pela regra do produto, teremos:

g r r , θ = 2 r . f r cos θ ,   r sin θ + r 2 f r cos θ ,   r sin θ '

E, para resolver f r cos θ ,   r sin θ ' , usamos a regra da cadeia: f r = f . σ ' r , e teremos:

g r r , θ = 2 r . f r cos θ ,   r sin θ + r 2 f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ + r 2 f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora, para encontrar g r r , temos que derivar cada termo do passo anterior:

g r r r , θ = 2 r . f r cos θ ,   r sin θ ' + r 2 f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ ' + r 2 f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ '

Vamos lá, resolvendo o primeiro termo pela regra do produto, temos:

2 r . f r cos θ ,   r sin θ ' = 2 f r cos θ ,   r sin θ + 2 r f r cos θ ,   r sin θ '

Que, pela regra da cadeia fica:

2 r . f r cos θ ,   r sin θ ' = 2 f r cos θ ,   r sin θ + 2 r f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ + 2 r f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ

Passo 3

Agora, vamos ao termo do meio:

r 2 f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ

Derivando em relação a r   pela regra do produto, temos:

r 2 f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ ' = 2 r f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ + r 2 f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ '

Como f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ ' é:

f x x r cos θ ,   r sin θ . cos 2 θ + f x y r cos θ ,   r sin θ . cos θ . sin θ

Teremos, para essa parte:

r 2 f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ ' = 2 r f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ + r 2 f x x r cos θ ,   r sin θ . cos 2 θ + r 2 f x y r cos θ ,   r sin θ . cos θ . sin θ

Passo 4

Finalmente, para o terceiro termos de g r , teremos:

r 2 f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ

r 2 f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ ' = 2 r f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ + r 2 f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ '

Agora, pela regra da cadeia, teremos:

f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ ' = f y x r cos θ ,   r sin θ . sin θ . cos θ + f y y r cos θ ,   r sin θ . sin 2 θ

E, juntando as duas partes, temos:

r 2 f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ ' = 2 r f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ + r 2 f y x r cos θ ,   r sin θ . sin θ . cos θ + r 2 f y y r cos θ ,   r sin θ . sin 2 θ

Juntando, agora, todas as parte de g r r , temos:

g r r = 2 f r cos θ ,   r sin θ + 2 r f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ + 2 r f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ + 2 r f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ + r 2 f x x r cos θ ,   r sin θ . cos 2 θ + r 2 f x y r cos θ ,   r sin θ . cos θ . sin θ + 2 r f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ + r 2 f y x r cos θ ,   r sin θ . sin θ . cos θ + r 2 f y y r cos θ ,   r sin θ . sin 2 θ

Sabendo que f x y = f y x e juntando os termos iguais, teremos:

g r r = 2 f r cos θ ,   r sin θ + 4 r f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ + 4 r f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ + r 2 f x x r cos θ ,   r sin θ . cos 2 θ + 2 r 2 f x y r cos θ ,   r sin θ . cos θ . sin θ + r 2 f y y r cos θ ,   r sin θ . sin 2 θ

Ufa! Chegamos em g r r !

Passo 5

b) Para fazer g r r 0 , θ , basta colocar r = 0   na equação que encontramos, lembrando que o enunciado também disse que f 0,0 = 1 !

g r r = 2 f 0 cos θ ,   0 sin θ + 4.0 f x 0 cos θ ,   0 sin θ . cos θ + 4.0 f y 0 cos θ ,   0 sin θ . sin θ + 0 2 f x x 0 cos θ ,   0 sin θ . cos 2 θ + 2.0 2 f x y 0 cos θ ,   0 sin θ . cos θ . sin θ + 0 2 f y y 0 cos θ ,   0 sin θ . sin 2 θ

g r r = 2 f 0,0 + 0 = 2

Só isso :D

Resposta

a)   g r r = 2 f r cos θ ,   r sin θ + 4 r f x r cos θ ,   r sin θ . cos θ + 4 r f y r cos θ ,   r sin θ . sin θ + r 2 f x x r cos θ ,   r sin θ . cos 2 θ + 2 r 2 f x y r cos θ ,   r sin θ . cos θ . sin θ + r 2 f y y r cos θ ,   r sin θ . sin 2 θ

b)   2

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