Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 326, exercício 11.

Dado

u = p - q q - r

p = x + y + z

q = x - y + z

r = x + y - z

  1. Expresse u x , u y e u z como funções de x ,   y   e z usando a regra da cadeia e também expressando u diretamente em termos de x ,   y   e z antes de diferenciar.
  2. Calcule u x , u y e u z no ponto x , y , z = ( 3 , 2,1 )

Passo 1

a )

Vamos fazer primeiro pela regra da cadeia.

Para isso, precisamos calcular o gradiente de u , p , q e r .

Começando por u :

u = p - q q - r

u p , q , r = u p , u q , u r = 1 q - r , r - p q - r 2 , p - q q - r 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Gradiente de p :

p = x + y + z

p x , y , z = p x , p y , p z = ( 1,1 , 1 )

Passo 3

Gradiente de q :

q = x - y + z

q x , y , z = q x , q y , q z = ( 1 , - 1,1 )

Passo 4

Gradiente de r :

r = x + y - z

r x , y , z = r x , r y , r z = ( 1,1 , - 1 )

Passo 5

Agora vamos substituir o que encontramos nas fórmulas da regra da cadeia.

Para a derivada em relação a x :

u x = u p p x + u q q x + u r r x

u x = 1 q - r 1 + r - p q - r 2 1 + p - q q - r 2 1 = q - r + r - p + p - q q - r 2 = 0

Para a derivada em relação a y :

u y = u p p y + u q q y + u r r y

u y = 1 q - r 1 + r - p q - r 2 - 1 + p - q q - r 2 1 = 2 p - 2 r q - r 2

u y = 2 p - 2 r q - r 2 = 2 x + y + z - 2 x + y - z x - y + z - x + y - z 2 = z z - y 2    

E, para a derivada em relação a z :

u z = u p p z + u q q z + u r r z

u z = 1 q - r 1 + r - p q - r 2 1 + p - q q - r 2 - 1 = q - r + r - p - p + q q - r 2 = 2 q - 2 p ( q - r ) ²

u z = 2 p - 2 r ( q - r ) ² = - 4 y 2 z - 2 y 2 = - y z - y 2

Passo 6

Agora vamos substituir p ,   q e r na expressão de u para calcular as derivadas parciais.

u = p - q q - r

p = x + y + z

q = x - y + z

r = x + y - z

u = ( x + y + z ) - ( x - y + z ) ( x - y + z ) - ( x + y - z ) = 2 y 2 z - 2 y

Passo 7

Calculando u x :

u x = 0

Calculando u y :

u y = z - y - y - 1 z - y 2 = z z - y 2

Calculando u z :

u z = z - y 0 - y 1 z - y 2 = - y z - y 2

Igual aos resultados que obtivemos antes

Passo 8

b )

Como já temos as expressões de u x , u y e u z em função de x ,   y   e z , só temos que substituir no ponto x , y , z = ( 3 , 2,1 ) .

Então:

u x = 0

u y = 1 1 - 2 2 = 1

E

u z = - 2 1 - 2 2 = - 2 - 1 2 = - 2

Resposta

u x = 0

u y = 1

E

u z = - 2

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